Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

27.08.2015

Метод конечных элементов в настоящее время является одним из наиболее эффективных численных методов и широко применяется для решения как линейных, так и нелинейных краевых задач механики сплошных сред. В данном разделе приводится краткое описание алгоритма реализации МКЭ, который был разработан для анализа процессов квазистатического деформирования конструкций из материала рассматриваемого класса и использовался для получения численных результатов, содержащихся в данной главе. Будем рассматривать конечные деформации, описываемые тензором Коши — Грина:
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

где r — радиус-вектор актуальной конфигурации, Vo — наблагоператор в отсчетной конфигурации.
Используя пошаговую процедуру по времени, решение нелинейной задачи будем проводить в приращениях.
Запишем вариационный принцип Лагранжа в виде
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

где v, s — объем и поверхность тела в отсчетной конфигурации, Пε — плотность потенциальной энергии деформации, fo — вектор поверхностных сил.
Рассматриваем два соседних состояния — основное, соответствующее моменту t, и смежное с ним в момент t + Δt. Первое, которое будем считать известным, характеризуется полем перемещений uo, напряжений Σ (2-й тензор Пиолы — Кирхгофа), поверхностными силами fо, а второе — соответственно u0 + Δu, Σ + ΔΣ,f° + Σfo. Примем, что в пределах Δt физические соотношения линейны, тогда вариацию плотности потенциальной энергии деформации можно представить в виде
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

где E — тензор упругих постоянных на Δt. Тогда имеем вариационное уравнение для приращений
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

Считая шаг по времени достаточно малым, можно линеаризовать приращение тензора Коши — Грина относительно приращения перемещений и представить его в виде
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

где ΔEL — составляющая приращения тензора деформаций, соответствующая малым деформациям.
Такое представление позволяет записать матричное уравнение MКЭ для некоторого n-го элемента в виде
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

где Δqn — вектор узловых переменных элемента, которые в данном случае являются приращениями вектора перемещений, [Kn]L — составляющая матрицы жесткости элемента, соответствующая приращению тензора деформаций ΔEL и равная
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

([BL] — матрица связи компонент тензора малых деформаций и узловых перемещений, [D] — матрица упругих констант),
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

([Ф] — матрица функций формы элемента),
[Kn]N — составляющая матрицы жесткости элемента, соответствующая приращению тензора деформаций ΔЕN и равная
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

([BN] — матрица связи компонент тензора ЕN и узловых перемещений).
Как отмечалось выше, для описания механического поведения элемента структуры могут быть использованы различные модели. Наиболее приближенные к реальности модели соответствуют диаграммам, приведенным на рис. 1. Характерным отличием таких диаграмм является наличие ниспадающих участков. Это обстоятельство может привести к потере устойчивости решения и не позволяет проследить весь процесс деформирования вплоть до разрушения. Чтобы избежать этого, используем следующую итерационную процедуру. Для двумерного случая [D] имеет вид
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

Значения констант К1 и K2 определяются типом напряженного состояния, например, для плоского напряженного состояния К1 = 1, K2 = 1 - μ.
Представим матрицу [D] в виде
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

где [D]1 соответствует упругим константам G0 и μ0 для недеформированного тела.
Тогда матрица жесткости элемента
Алгоритмы реализации метода конечных элементов для исследования деформирования кусочно-неоднородных нелинейных сред

Если приращения достаточно малы, процесс быстро сходится.
Следующим важным моментом является моделирование процесса разрушения. Критерии разрушения формулируются на уровне структурного элемента. Это может быть, например, критическая максимальная главная деформация. Для имитации распространения трещины в материале был разработан алгоритм, который заключается в последовательном исключении из рассмотрения ’’разрушенных элементов”. После исключения производятся формирование новой границы области, перенумерация узлов конечно-элементной сетки, и процесс расчета продолжается.
Результаты, приведенные в данной главе, получены с использованием другого способа. При достижении в элементе критической деформации модуль упругости материала в нем принимается равным нулю, и таким образом элемент перестает оказывать сопротивление деформированию.