Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

27.08.2015

Из сказанного ранее следует, что сопротивление единичной элементарной ячейки растяжению может быть представлено в форме
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

Здесь f — усилие сопротивления ячейки; е — ее текущая деформация; gн и gк — начальная (до начала отслоения матрицы) и конечная (после полного отслоения матрицы) жесткости ячейки; еа — деформация, при которой возникает отслоение матрицы (случайная величина); еr — деформация, при которой происходит разрыв ячейки (случайная величина); с — материальная константа, определяющая размер области перехода от начальной жесткости к конечной.
Жесткости gн и gк являются взаимосвязанными величинами, зависящими от объемной доли наполнителя φ в исследуемом материале. Зависимость gн от φ может быть выражена известной формулой из:
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

где Eм — модуль Юнга матрицы.
Зависимость конечной жесткости gк ячейки от начальной gн, графически показанная ранее, аналитически может быть представлена выражением
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

Модуль Юнга матрицы Eм, распределения еa и еr — входные данные; параметр перехода с, как показывают расчеты, можно принять равным 5,0 независимо от концентрации наполнителя.
Рассмотрим в качестве примера ячейку с включением, заполняющим ее объем на 30%. Примем модуль матрицы Eм равным единице. Согласно (2) и (3), жесткости ячейки будут соответственно gн = 3,60 и дgк = 0, 63. Примем также, что в данном частном случае еа = 0,5 и еr = 1,5. Тогда соответствующая кривая растяжения ячейки будет иметь вид, показанный на рис. 1.
Ячейки, наполняющие реальные неупорядоченные структуры, различаются не только значениями еa и еr, но и по локальным заполнениям объема включениями при сохранении неизменным среднего их содержания, принятого равным 30%. Непостоянство локальных концентраций наполнителя приводит к соответствующему непостоянству значений gн и gк.
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

Распределение локальных концентраций наполнителя в структурных ячейках исследовалось в главе 2. Кривые распределения для средних наполнений 20, 30, 40 и 50% показаны на рис. 2. С ростом концентрации наполнителя разброс сужается, что обусловлено все большей степенью упорядочения структуры из-за стесненности во взаимном размещении частиц.
Использование рис. 10, показывающего зависимость коэффициента деформационной концентрации в ячейке от φ и е, позволяет осуществить и оценку разброса разрывных деформаций структурных ячеек, обусловленную локальным непостоянством φ. Коэффициент деформационной концентрации k, т. е. отношение максимальной деформации матрицы внутри ячейки к деформации ячейки е, может быть представлен эмпирическим выражением
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

Отсюда, если разрывная деформация собственно матрицы равна (еel)b, то разрывная деформация структурной ячейки еr определится как отношение
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

В последующих расчетах будут учитываться два источника неоднородности структурных ячеек: геометрический — в форме непостоянства локальной концентрации наполнителя, и физико-химический — в форме непостоянства адгезионной прочности скрепления матрицы с наполнителем. Первый источник формирует статистические распределения величин gн, gк и еr, второй — распределение величии еa. Возможно, что существует корреляционная связь между неоднородностями геометрической и физико-химической природы, однако в данное время она неизвестна. Поэтому в дальнейшем при формировании массивов случайных характеристик обоих видов принимается, что случайность концентрационного разброса корреляционно не связана со случайностью адгезионного разброса. Распределение величии ea не изучалось, и поэтому его приходится назначать произвольно. В нашем случае принималось равноплотное распределение значений ea на отрезке от 0,01 до (еa)max.
Схема подготовки задачи для выполнения численных исследований выглядит следующим образом. Производят разбиение объема тела на конечные элементы и подсчитывают их количество. Находят общее количество структурных ячеек, заполняющих объем тела. Вычисляют количество структурных ячеек, приходящихся на каждый элемент. Формируют массивы ячеек со случайными характеристиками и заполняют ими объемы конечных элементов. Вычисляют осредненные механические характеристики конечных элементов, которые также становятся распределенными величинами. Сформированный массив конечных элементов теперь может быть использован для проведения тех или иных механических исследований.
При осреднении свойств в конечных элементах исходили из предположения, что поведение конечного элемента, содержащего Nc ячеек, может быть представлено как поведение дискретной модели, состоящей из N сечений с N ячейками в каждом сечении, так что N2 = Nc. Рассмотрим пример, когда требуется, чтобы каждый элемент был наполнен 100 структурными ячейками. Примем, что объемная концентрация наполнителя равна 30%. Геометрическая структура модели набирается по схеме, рассмотренной выше, а именно 10 сечениями но 10 ячеек в каждом. Деформации, при которых происходят адгезионные нарушения, будем считать равномерно распределенными на отрезке от 0 до 0,5. Собственную разрывную деформацию эластомера примем равной 3,0.
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

Нa рис. 3 представлены три реализации кривых растяжения, отражающие непостоянство механического поведения конечных элементов. Кривые растяжения можно рассматривать как характеристики сопротивления материала внутри данных конечных элементов с переменными, зависящими от текущей деформации, модулями упругости. Эти кривые завершаются характерными для каждого конечного элемента разрывными деформациями.
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

Изменчивость осредненного модуля в конечных элементах представляется его уменьшением от некоторого начального уровня до некоторого конечного, как это показано на рис. 4.
Эмпирическое соотношение, выражающее зависимость модуля упругости конечного элемента E от деформации ε, имеет вид
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

где с1 и с2 — константы данного элемента, вычисляемые при осреднении его свойств.
Рассмотрим теперь вторую необходимую в расчетах характеристику — объемное сопротивление материала. Когда материал представляет собой конденсированную среду, его объемное сопротивление обычно принимается линейно-упругим по отношению к среднему напряжению и определяется одной материальной константой — объемным модулем упругости К.
Рассматриваемые нами композиты обладают переменной сжимаемостью. Пока не началось отслоение, они характеризуются обычным объемным модулем упругости К. Однако после начала отслоения матрицы от частиц наполнителя и образования внутренней пористости сжимаемость материала резко возрастает и становится функцией количества отслоений, текущей деформации, среднего напряжения и модуля упругости матрицы.
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

Ранее было показано, что структурную ячейку, в которой матрица и включение приняты несжимаемыми, можно характеризовать (в первом приближении) следующей эмпирической зависимостью пористости 0 от объемного содержания наполнителя φ, деформации е, модуля Юнга матрицы Em и внешнего давления Р:
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов

Пористость 0 представляет собой отношение объема вакуоли в ячейке к ее первоначальному объему. Осредненное значение 0 в ансамбле из NxN ячеек, наполняющих объем конечного элемента, определяется при вычислении осредненной кривой растяжения этого ансамбля посредством формулы (7) путем суммирования приращений пористости в каждой ячейке по значениям φ и по еа, приписанным данной ячейке.
Типичная кривая изменения пористости от деформации для ансамбля 10x10 ячеек (характеризуемых модулем матрицы Em = 1,0; 30%-м наполнением; распределением еа, принятым как на рис. 3) при нормальном атмосферном давлении показана на рис. 5.
Если в обычных сплошных материалах объемные изменения невелики, то в материалах, образующих поры при деформировании, они оказываются в десятки и сотни раз выше. Ведущим фактором в этом случае становится деформация. Целесообразно и более удобно для вычислений представлять объемные изменения ансамблей частиц как функцию их деформации (при заданном внешнем давлении P).
Поэтому кривая 0—ε, показанная на рис. 5, может быть принята в качестве характеристики объемного сопротивления композиционного материала, образующего поры при деформировании, и использована при расчетах напряженно-деформированного состояния конструкций из таких материалов.
Эмпирическая формула, удовлетворительно описывающая осредненное объемное изменение ансамбля частиц внутри конечного элемента, легко определяется и имеет следующий вид:
Вычисление осредненных характеристик для конечных элементов