Матрица плотности и ее свойства

07.09.2015

Состояния квантовых систем могут быть чистыми и смешанными. Чистым называется состояние, которое может быть описано волновой функцией. Для системы, находящейся в чистом состоянии, характеризуемом волновой функцией ?, среднее значение некоторой величины, которой соответствует оператор М, равно

Смешанным называется такое состояние системы, которое не может быть описано определенной волновой функцией. Смешанное состояние определяется заданием ряда функций состояний ?n и вероятностями Wn, с которыми осуществляются данные состояния, т.е, для описания смешанного состояния нужно задать два ряда характеристик: ?1, ?2, ..., ?n, ... и W1, W1, ..., Wn, .... При этом известно, что система может находиться в состоянии ?1 с вероятностью W1, в состоянии ?2 с вероятностью W2 и т.д. Следовательно, смешанное состояние можно рассматривать как некогерентную смесь чистых состояний ?i со статистическими весами W1, где Wi — действительные положительные числа, удовлетворяющие соотношению ?i Wi = 1.
Вычислим среднее значение оператора M в смешанном состоянии. Учитывая, что среднее значение оператора M в чистом состоянии ?i определяется формулой (7.1) и что чистое состояние ?i осуществляется в смешанном состоянии с вероятностью Wi, получим среднее значение оператора M в смешанном состоянии в виде

Введем статистический оператор или матрицу плотности

где Р[?i] = [?i>

т.е. представим ?i в виде суперпозиции состояний. Матричные элементы оператора р в базисе функций um равны

Подставляя (7.4) в (7.2) и учитывая (7.3) и (7.5), получим среднее значение оператора M в смешанном состоянии в виде

где Sp (рМ) — сумма диагональных матричных элементов оператора pМ в произвольном ортогональном базисе. Если система находится в чистом состоянии, характеризуемом волновой функцией ?i = ?, то Wi = 1, и статистический оператор имеет вид

т. е. равен оператору проектирования на состояние ?. Среднее значение оператора M в чистом состоянии равно

т. е. выражается той же формулой, что и в случае смешанного состояния. Этот результат вполне естествен, поскольку чистое состояние является частным случаем смешанного состояния. Существует простой критерий, который позволяет по виду матрицы плотности определить, в каком состоянии (чистом или смешанном) находится система. Из формулы (7.7) следует, что матрица плотности системы, находящейся в чистом состоянии удовлетворяет соотношению р2=р. Для системы в смешанном состоянии это соотношение не выполняется. Описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического описания системы. Произвольное состояние любой системы, являющейся частью большой системы и взаимодействующей с остальными частями системы, может быть описано только с помощью матрицы плотности.
Матрица плотности является эрмитовской матрицей (это следует из условия действительности средних значений), удовлетворяющей условию нормировки

Выясним физический смысл условия нормировки (7.8). Диагональный элемент матрицы плотности pnn = ?i Wi/Cni/2?0 определяет вероятность обнаружить систему в состоянии, описываемом волновой функцией ?n. Следовательно, Spp = ? pnn = 1 представляет собой полную вероятность обнаружить систему в каком-либо состоянии ?n (n = 0,1,2, ...).
Рассмотрим матрицу плотности рS замкнутой системы в шредингеровском представлении и получим для нее уравнение движения. В случае замкнутой системы величины Wi не будут зависеть от времени, и зависимость от времени матрицы плотности pS будет определяться только зависимостью от времени волновых функций (t), которые подчиняются нестационарному уравнению Шредингера

Продифференцируем по времени элементы матрицы плотности, определяемые формулой (7.5)

Вводя квантовые скобки Пуассона, можно получить из (7.12) уравнение движения для оператора рS в виде

В случае, когда H не зависит от времени (т. е. для замкнутой системы) формальное решение уравнения (7.13) имеет вид

где pS(0) = pS/t=0 — значение матрицы плотности в начальный момент времени. Найдем матричные элементы оператора p(t) в базисе функций un, которые являются собственными функциями оператора H:

В этом случае элементы матрицы плотности с течением времени изменяются по гармоническому закону, причем частота колебаний определяется разностью энергий состояний [m/ и /n], относительно которых вычисляются элементы матрицы плотности.
Для описания эволюции квантовых систем наряду с шредингеровским используют гейзенберговское представление и представление взаимодействия.
В гейзенберговском представлении эволюция системы описывается изменением во времени операторов, волновые функции при этом от времени не зависят. Операторы LH(t), волновые функции ?H и статистический оператор рH в этом представлении связаны с соответствующими величинами в шредингеровском представлении соотношениями

При этом мы считаем оператор Н не зависящим от времени. Уравнение движения для операторов LН(Z) в представлении Гейзенберга имеет вид

B представлении взаимодействия или представлении Дирака изменяются со временем и операторы LD(t), и волновые функции ?D(t). Полный гамильтониан H системы при этом разбивают на два слагаемых

где H0 — оператор Гамильтона без учета взаимодействия частей системы, а H1 — оператор взаимодействия. Для простоты будем предполагать, что не зависит явно от времени. Операторы LD(t), волновые функции ?D(t) и статистический оператор pD(t) в представлении взаимодействия связаны с соответствующими величинами в шредингеровском представлении соотношениями

Волновая функция и матрица плотности в представлении взаимодействия изменяются со временем по закону

Этот оператор, называемый оператором преобразования, удовлетворяет уравнению

и начальному условию S(0,0) = 1, где

Средние значения любого оператора совпадают во всех трех представлениях

Получим уравнение движения для матрицы плотности в представлении взаимодействия. Будем исходить из уравнения движения (7.13)

для матрицы плотности в представлении Шредингера.
Подставим в (7.17) pS (t), определяемое формулой (7.16)

Умножая (7.18) слева на ехр(iH0t/h), а справа на ехр(-iH0t/h) и вводя оператор взаимодействия HD1 в представлении взаимодействия

получим уравнение движения для матрицы плотности в представлении взаимодействия

В начальный момент времени

Вследствие малости оператора H1 и (HD1) уравнение (7.20) при начальном условии (7.21) можно решать методом последовательных приближений, ограничиваясь при этом небольшим числом итераций.
Если в качестве H0 рассматривается оператор зеемановского взаимодействия системы одинаковых спинов с внешним магнитным полем, то переход к представлению взаимодействия является переходом к системе координат, вращающейся с ларморовой частотой. Покажем это, например, для оператора Ix. Учитывая, что H0 = -yhIzH0 = -hw0Iz, запишем оператор Ix в представлении взаимодействия в виде

где ? = ?0t. Чтобы найти f(?), можно было бы разложить экспоненты в ряды, воспользоваться коммутационными соотношениями и упростить вид этого оператора. Однако проще написать дифференциальное уравнение для функции f(?). Найдем производную от f по ?

Формулы (7.25) — (7.27) описывают преобразование операторов компонент вектора момента количества движения при переходе от лабораторной системы координат к вращающейся с угловой скоростью ?0 относительно оси z.
Найдем вид статистического оператора в шредингеровском представлении для системы, которая описывается гамильтонианом H0 и находится в состоянии теплового равновесия при температуре Т. Для этого получим вначале матричные элементы статистического оператора в базисе функций, являющихся собственными функциями оператора H0. Заселенности состояний с энергиями Em определяются множителями Больцмана, которые определяют диагональные элементы матрицы плотности

Недиагональные матричные элементы (см. (7.15))

гармонически осциллируют со временем. Если они не равны нулю, то должно существовать такое свойство системы, которое также будет гармонически осциллировать со временем. Однако это противоречит предположению о том, что система находится в состоянии термодинамического равновесия, так как в таком состоянии все свойства системы не зависят от времени. Следовательно, недиагональные элементы матрицы плотности должны обратиться в нуль. Из формулы (7.28) видно, что если недиагональные элементы матрицы плотности обращаются в нуль в некоторый момент времени, то они равны нулю все время. Следовательно,

По матричным элементам (7.29) можно восстановить статистический оператор, который дает матричные элементы (7.29) на собственных функциях оператора Он имеет вид

Для вычисления свойств системы можно воспользоваться операторным методом. Вычислим, например, 2-компоненту намагниченности для системы невзаимодействующих одинаковых спинов, находящихся в состоянии теплового равновесия при температуре T в постоянном магнитном поле H0. Гамильтониан этой системы имеет вид H0 = -yhIzH0, где Iz — z-компонента суммарного спина. Среднее значение z-компоненты намагниченности равно

Рассмотрим случай высоких температур, т. е. будем считать, что энергия взаимодействия спинов с магнитным полем гораздо меньше тепловой энергии, тогда можно разложить экспоненты в ряды и ограничиться в числителе двумя членами разложения и в знаменателе одним

где E — единичный оператор. В качестве базиса будем рассматривать полный набор собственных функций оператора H0, т. е. собственные функции операторов Iz и I2 (так как они коммутируют). Таких функций будет (2I+1), поэтому SpE = 2I+1


Следовательно,

Это равенство представляет собой закон Кюри для z-компоненты намагниченности.