Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

27.08.2015

Рассмотрим макроскопически однородный образец наполненного эластомера. Oн представляет собой связующее, прочно скрепленное с частицами наполнителя. Полагаем, что все включения приготовлены из одного материала, имеют сферическую форму и одинаковые радиусы. Кроме того, полагаем, что все частицы расположены достаточно далеко друг от друга, поэтому не влияют на взаимные поля напряжений.
Приведем рассуждения, позволяющие предложить вариант математической модели для описания статистических особенностей роста отслоенности связующего от частиц наполнителя (появление вакуолей). Пусть общее число включений в образце равно N. Максимальное число возможных вакуолей равно 2N (по два на каждом включении — рис. 5). Необходимо определить вероятность содержания в образце п вакуолей в произвольно выбранный момент t от начала испытания.
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Проведем наши рассуждения в два этапа. Нa первом рассмотрим поведение ’’фантастического” материала с очень удобными для анализа стохастическими свойствами. После этого обсудим вопрос о том, в каких случаях эта модель может использоваться для описания реальных объектов. Нa первом этапе специально не будем касаться физической разумности выбранной модели. Пусть она будет (на первый взгляд) довольно далека от реальности. Вопрос о том, может ли в действительности происходить что-то подобное, оставим для обсуждения на втором этапе.
Стохастическая модель процесса

Рассмотрим абстрактную математическую модель. Пусть мы имеем объект, содержащий N структурных элементов. В начальный момент (t0 = 0) все структурные элементы находятся в состоянии А. С течением времени они переходят в новое состояние В. Этот переход происходит в элементах независимо друг от друга. Обратный переход из В в А невозможен. Кроме того, пусть нам известна следующая закономерность. Вероятность того, что на интервале времени [ta, tb] данный элемент продолжает оставаться в состоянии А (при условии, что он и ранее был в состоянии А), определяется выражением
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Сформулированных условий достаточно, чтобы описать процесс накопления элементов в системе в состоянии В. В частности, можно сделать заключение о том, чему равно математическое ожидание M числа структурных элементов n* в состоянии А в момент t. Для этого возьмем плотность P(t < t*). Она характеризует вероятность того, что для рассматриваемого элемента системы момент перехода t* из состояния A в B больше текущего момента t. Времена t* и t отсчитываются от начала испытания.
По определению теории вероятностей, под функцией P(t < t*) следует понимать осредненное по множеству наблюдений отношение числа ni элементов в состоянии А в текущий момент t в i-м испытании к общему числу структурных элементов системы N, при стремлении общего числа испытаний К к бесконечности:
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Остановимся теперь на статистических особенностях накопления переходов структурных элементов из состояния А в В. Рассмотрим самый первый шаг. Невозможность перехода из А в В на всех структурных элементах рассматриваемого объекта в интервале [0, t1] оценивается произведением вероятностей отсутствия переходов в каждом из элементов. Следовательно, вероятность того, что в рассматриваемом объекте на интервале [0, t1] все N структурных элементов находятся в состоянии А, описывается формулой
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Данное равенство полностью задает закон появления первого перехода из А в В. Чтобы в этом убедиться, достаточно записать вероятность противоположного события (появления по крайней мере одного перехода из А в В на интервале времени [0, t1]):
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

По своему физическому смыслу это и есть распределение вероятности появления первого перехода из А в В в момент t1*, меньший t1.
Этот процесс можно продолжить. Пусть k-й переход из А в В произошел в момент tk. Вероятность того, что па интервале времени [tk, tk+1] не добавится ни одного нового перехода (по аналогии с изложенным выше), определяется выражением
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Формула представляет собой произведение вероятностей отсутствия переходов в указанном интервале времени на каждом из оставшихся элементов. Как и ранее, выписанное условие (21) задает закон следующего k + 1 преобразования из А в В. Выражение (21), справедливое для всех значений к от нуля до N (при to = 0), позволяет рассчитывать все статистические характеристики рассматриваемого процесса, генерировать его случайные реализации на ЭВМ. Таким образом, все сказанное полностью определяет статистические особенности роста изменений в рассматриваемом объекте.
Как уже отмечалось, данная абстрактная модель имеет простое математическое описание. Нac интересует вероятность того, что в рассматриваемый момент Z объект содержит ровно n структурных элементов в состоянии В. Подчеркнем еще раз, что события перехода из состояния A в B для структурных элементов полагаются независимыми друг от друга. Из теории вероятностей известно, что интересующая пас вероятность определяется биномиальным распределением
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

математическое ожидание М(n) и дисперсия D(n) которого соответственно равны
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

В диапазоне 0,1 < m < 0,9 оно хорошо аппроксимируется нормальным распределением с плотностью вероятности случайной величины
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Таким образом, статистические особенности накопления переходов структурных элементов из А в В полностью определятся поведением только одного параметра m. В соответствии с равенством (23), параметр m имеет физический смысл математического ожидания числа структурных элементов в состоянии В в момент t, деленного на N. A эту величину мы можем рассчитать на основании утверждения (18) :
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Нa этом заканчивается первый этап построения модели.
Применение стохастической модели к описанию роста отслоенности в наполненном эластомере с малой концентрацией твердой фазы

Теперь следует вложить конкретный физический смысл в приведенные математические выражения. Под событием перехода структурного элемента системы из состояния А в В следует понимать появление на включении материала новой вакуоли. Однако расчеты будут более удобны, если считать, что отслоение матрицы от включений происходит сразу по всей их поверхности и приводит к мгновенному появлению сразу двух вакуолей. Качественная сторона исследования при этом не пострадает. A количественная сторона сейчас для нас не главная. Важно понять, что нового можно получить в рамках рассматриваемого подхода. Включения достаточно удалены друг от друга. Поэтому событие появления повреждений на одном из них можно считать независимым от появлений повреждений на других. Формулы (22)-(26) пригодны для описания такой ситуации.
Практическое применение выражений требует уточнения, что понимается под функцией ζ(t). Ее разумно выбрать так, чтобы данное описание было дальнейшим развитием рассмотренного ранее подхода.
Полное согласование с формулами (12), (14) достигается в случае, когда под величиной ζ(t) понимается функция от времени:
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

(S — поверхность неотслоенного включения). Скалярная характеристика отрывного усилия σа является функцией координат и времени. В условиях, соответствующих нагружению материала с постоянной скоростью движения захватов, она принимает вид
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

σ — напряжения на удалении от включений; rp — радиус частиц наполнителя; E — модуль Юнга матрицы; ε' — скорость макроскопического деформирования материала. В этом случае изменение параметра m определяется равенством
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Проиллюстрируем закономерности роста отслоенности в слабо-наполненных образцах на конкретных примерах. Проведем следующий компьютерный эксперимент. Рассмотрим четыре образца, каждый из которых содержит по сто включений. Моделируется ситуация, когда образцы растягиваются с одинаковой макроскопической скоростью движения захватов. Нac интересуют особенности математического моделирования кинетики накопления отслоений. Частицы наполнителя удалены друг от друга на достаточное расстояние. Поэтому каждая из них имеет одно и то же поле напряжений около поверхностей включений. Следовательно, максимальное напряжение при нагружении достигается одновременно в матрице около всех частиц наполнителя. Согласно обычным представлениям о критериях прочности, отслоения связующего от поверхностей частиц должны начаться одновременно около всех включений. Подчеркнем особенно этот момент.
• Критерии разрушения предсказывают мгновенное отслоение матрицы сразу па всех включениях. Хлопком должны образоваться вакуоли около всех частиц наполнителя.
• С точки зрения кинетико-статистического описания процесса возникает совсем иная ситуация. При определенном значении макроскопической нагрузки возможно только наступление наиболее вероятного момента появления отслоений.

Некоторые вакуоли образуются до наступления такого момента, некоторые позже. Процесс случаен. Поэтому отслоение матрицы одним хлопком одновременно от всех частиц невозможно. Это хорошо видно па получившихся в машинном эксперименте реализациях кинетики накопления отслоений (рис. 6). Отслоенность в материале показана в зависимости от безразмерного растягивающего усилия
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

При выполнении расчетов материал считался Гуковым, несжимаемым. В качестве конкретного вида распределения полей напряжений около частиц наполнителя (в окрестности которых не произошло отслоения связующего) использовалось аналитическое решение для единичной сферы (15).
Нa полученном графике просматриваются три области эволюции общей поврежденности материала. Нa первом этапе σ* < 0,4 отслоений в материале мало или нет совсем. Нa втором этане роста поврежденности 0,4 < σ* < 1,6 происходит быстрое увеличение числа отслоений в материале, причем с весьма значительным разбросом (сравниваются машинные эксперименты на разных образцах). Нa третьем этапе 1,6 < σ* почти все или полностью все частицы отслоились от матрицы. Естественно задаться вопросом о статистических характеристиках разброса данных в машинных реализациях на втором этапе. Именно на этом участке можно ожидать значительного случайного отклонения в лучшую или худшую (с точки зрения прочности) сторону.
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Для получения плотности вероятности количества отслоенных частиц необходимо проводить не четыре, а от 7000 до 10000 компьютерных экспериментов. Исследовалось две серии образцов. В каждой использовались разные размеры частиц наполнителя. Объемная доля твердой фазы всегда выбиралась одна. Достигалось это использованием разного количества включений. Так, в образцах с малыми частицами наполнителя (радиусом 370 мкм) бралось 1000 включений, с большими частицами (радиусом 800 мкм) — 100 включений.
Результаты компьютерного эксперимента показаны па рис. 7. Плотности распределения доли отслоенных частиц р соответствуют образцам, содержащим 100 включений (кривые 1, 2, 3) и 1000 включений (кривые 1', 2', 3') для безразмерных нагрузок σ*, равных соответственно значениям 0,6; 0,9; 1,2. Разбросы долей отслоенных частиц существенно выше в образцах с меньшим содержанием частиц наполнителя.
• Число рассматриваемых объектов очень важно при статистическом моделировании процесса. В этом заключается еще одно отличие кинетико-статистического подхода от детерминированного описания явления.
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Максимальный разброс данных в компьютерных реализациях кинетики накопления отслоений наблюдается в области наиболее вероятного момента появления вакуоли нa одном изолированном включении. При меньших и больших макроскопических нагрузках разброс уменьшается. Эта тенденция хорошо видна на графике зависимости дисперсии доли отслоенных частиц Dm от их математического ожидания (рис. 8). Кривые 1, 2, 3 соответствуют образцам, содержащим 100, 150 и 1000 включений. В момент наиболее вероятного появления повреждения отслоенными оказываются примерно 50% частиц.
Важен факт хорошего согласовании полученных в машинных экспериментах плотностей с Гауссовым распределением. Нa рис. 7 соответствующие ему плотности представлены сплошными линиями. Это прекрасно подтверждает применимость к расчетам математических выражений (25), (27) при N ≥ 100.
Проблема кластерообразования

Главная цель исследования материалов на прочность состоит в предсказании условий потери их работоспособности в тех или иных режимах эксплуатации. Вероятностное описание каждого единичного акта разрушения на микроскопическом уровне (возникновение повреждений) безусловно приведет и к вероятностному описанию условия макроскопического разрушения. В этом заключается важное следствие статистических моделей. Именно этот момент необходимо рассмотреть более подробно.
Заключительный этап макроскопического разрушения материала начинается с образования кластеров повреждений. Они представляют собой области, в которых поврежденность среды окажется несколько выше, чем в окружающем материале. С появлением таких областей материал уже нельзя рассматривать как макроскопически однородный. Дальнейшая его эволюция определяется развитием неоднородностей повреждения среды (увеличения размеров кластеров, их более рельефного выделения с точки зрения механических свойств на фоне остального материала). Все это приводит в итоге к потере устойчивости изделия, наступлению катастрофы в его жизни (макроскопического разрушения). Происходит это в двух случаях.
• Размеры кластера становятся сравнимы с размерами изделия (рис. 9). Это неминуемо приводит к локализации процесса разрушения (в ослабленных кластером частях материала начинается быстрый рост поврежден и ости и происходит макроскопический разрыв).
• Кластер может не достигать размеров, сравнимых с размерами изделия, но выделиться из окружающего материала настолько, что вызовет достаточно быстрое повреждение среды в его окрестности и тем самым спровоцирует дальнейший свой рост. В итоге развитие поврежденности завершится прорастанием макроразрыва в материале.
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

В обоих случаях вероятностная оценка момента кластерообразования исключительно важна для описания условий макроскопического разрушения среды.
Анализ момента появления кластера поврежденности возможен лишь при количественной конкретизации термина ’’кластер”. Естественно, что в материале любые две конечные области (имеющие макроскопические размеры) будут содержать очень близкую, но чуточку различающуюся концентрацию отслоенных частиц. При этом существует вероятность того, что в некоторый момент появится макроскопическая область, у которой концентрация отслоенных частиц будет больше заданной величины mα, определяемой равенством
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

где m — математическое ожидание концентрации отслоенных частиц; α — показатель количественного превышения концентрации доли отслоенных частиц от ее математического ожидания. Под появлением кластера поврежденности будем далее понимать случайное образование в среде области объемом Vα с превышением концентрации отслоенности над ожидаемой на 100α% и более, качественным образом изменяющей весь дальнейший ход развития поврежденности и приводящей к локализации процесса. Параметр αхарактеризует собой степень сформированности кластера (отличие поврежденности в выделенной области от поврежденности окружающего материала).
Таким образом, с точки зрения математики, задача формулируется в виде двух самостоятельных независимых вопросов.
• Какова вероятность появления области объемом Vα и превышением поврежденности над средней α в рассматриваемом образце при данных условиях его испытания?
• Насколько опасно для образца появление такой области? Можно ли ее классифицировать как кластер поврежденности, навязывающий материалу в дальнейшем особый неоднородный характер разрушения, локализацию этого процесса?
На первый вопрос, располагая приведенным выше математическим аппаратом, можно ответить. Второй вопрос по существу требует анализа устойчивости процесса роста поврежденности. Это уже другое математическое исследование. В данной работе оно не рассматривается.
Pacчет вероятности появления кластера поврежденности в материале

Получить формулу для расчета вероятности появления кластера поврежденности можно исходя из посылок, аналогичных тем, которые были сделаны при выводе вероятности появления единичного повреждения. Приводимые ниже рассуждения справедливы для материала, макроскопическое состояние которого можно считать практически однородным (кластер поврежденности не успел еще сформироваться рельефно на фоне остальной среды).
Рассмотрим материал объемом V. Разделим его произвольным образом на Kα частей, каждая из которых имеет объем ΔV и содержит NΔV частиц наполнителя. Каждая часть материала может иметь произвольную форму, отличную от формы других, но ее объем обязательно равен ΔV :
Кα = V/ΔV

Будем исходить из следующего предположения. Считаем вероятность Pα того, что материал объемом ΔV имеет поврежденность (в данном случае отслоенность) меньше значения mα, функцией только значений параметра m = m(t) для текущего момента t и констант α, ΔV. Конкретный ее вид задан формулами (25), (27):
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

где Фu(...) — функция распределения стандартизированной нормальной величины.
Вероятность Рα* того, что пи одна из рассматриваемых частей материала не содержит долю повреждений, большую mα, определяется формулой
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Поэтому противоположное событие (появление хотя бы в одной из частей материала поврежденности больше mα) количественно характеризуется вероятностью
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Нa рис, 10 показаны линии постоянного уровня вероятности Pav появления области объемом ΔV с характеристикой повышенной поврежденности α. Для расчетов использовались образцы с размерами: длина — 5 см, ширина — 1 см, толщина — 0,4 см; объемная доля наполнителя — 0,1; радиусы включений — 20 или 100 мкм. Ситуация анализируется для макроскопической нагрузки σ* = 0,91. Линии уровня 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют образцу с включениями радиусом 100 мкм, линии 1', 2', 3', 4', 5' — 20 мкм. Они соединяют точки со следующими значениями вероятности: 1 и 1' — 0,1; 2 и 2' — 0,3; 3 и 3' — 0,5; 4 и 4' — 0,7; 5 и 5' — 0,9.
Нa графике хорошо видны следующие зависимости. При заданном значении α появление кластера отслоенных частиц тем вероятнее, чем меньше размеры рассматриваемой области ΔV. В то же время образование кластера с фиксированным объемом ΔV маловероятно для больших значений показателя α, но естественно для малых.
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений

Масштабный эффект прочности и в этом случае имеет место. Поясним это на примере. Рассмотрим событие появления области в материале с вероятностью 0,9, имеющей характеристику отклонения поврежденности от средней α = 0,05. Это возможно только в объеме, меньшем 0,004 см3 для малых включений (20 мкм), и в объеме 0,085 см3 — для больших (100 мкм). Таким образом, численные эксперименты говорят о следующем. Размеры кластеров поврежденности в образце с малыми частицами наполнителя существенно меньше, чем с большими. Это очень важный практический вывод.
• Соизмеримый с размерами образца кластер поврежденности о материале с малыми частицами образуется значительно позже, чем при наполнении большими (при той же самой объемной доле твердой (разы). Следовательно, процесс локализации разрушения в образце с крупными частицами наполнителя должен начаться раньше и макроразрыв образца произойдет быстрее.
Проверим, что произойдет с величиной разрывных усилий при увеличении размеров образца. Пусть локализация разрушения, появление и рост макроразрыва начинаются с возникновения слабо выраженного кластера поврежденности, соизмеримого с сечением. Второй возможный путь разрушения образца (путем формирования малого, но ярко выраженного кластера, приводящего к быстрому прорастанию макроразрыва) мы в данный момент не исследуем.
Увеличим все геометрические размеры по сравнению с рассмотренным ранее вариантом в 2 раза. Объем образца увеличится соответственно в 8 раз. Зависимость вероятности появления кластера поврежденности от его объема ΔV, деленного на объем образца V, показана па рис. 11. Кривая 1 соответствует образцу с размерами 5x1x0,4 см; кривая 2 — 10 х 2 х 0,8 см. Расчеты выполнены для значения α = 0,05 при нагрузке σ* = 0,91. Из графика следует вывод: появление кластера поврежденности с заданным относительным ΔV/V объемом более вероятно в малом образце. Следовательно, он должен разорваться при меньшей нагрузке. В этом заключается существенное отличие рассматриваемого типа разрушения от разрушения хрупких материалов.
• Большой образец должен выдержать более высокие нагрузки, чем образец с меньшими размерами (если только причиной разрыва является возникновение кластера noвpeждeннocти, соизмеримого с сечением образца). В хрупких материалах наблюдается обратная закономерность (их разрушение связано с образованием и стремительным ростом малой поврежденной области).
Все приведенные результаты получены для адгезионного отслоения на достаточно удаленных друг от друга частицах в рамках линейной теории упругости. При переходе к анализу когезионного разрушения около близкорасположенных частиц в нелинейной теории упругости изменятся все количественные оценки. Однако качественные выводы (в силу особенностей использованного математического аппарата) измениться не могут.
Цель данной работы заключалась в том, чтобы обратить внимание исследователей на теоретические выводы, которые вытекают из точки зрения на образование повреждений как на случайные пространственно-временные события. Описанные качественные выводы известны на практике. Однако вопрос о том, как включить их в математические модели, требует своего решения. В работе намечен один из возможных путей математического описания первой стадии роста поврежденности (до момента локализации этого процесса). Вторая стадия разрушения должна включать анализ устойчивости процесса.
Масштабный эффект прочности в кинетике накопления повреждений