Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

27.08.2015

Прежде чем анализировать условия появления и роста поврежденности на ансамблях включений или композите в целом, разумно остановиться на анализе ситуации около одного единственного включения. Масштабные явления разрушения обнаруживаются даже около единственной частицы наполнителя с размерами от одного до сотен микрометров.
Чтобы объяснить их с позиций статистических теорий прочности, необходимо допустить существование субмикроскопических дефектов в системе па масштабном уровне, измеряемом долями микрометров. Фактически это означает существование дефектов на физическом уровне среды (соизмеримых с короткими отрезками цепей полимерных молекул). При этом возникают вопросы: что они могут представлять? какова их физическая природа?
В то же время для объяснения явления только одним фактом существования слоя с особыми свойствами на поверхностях включения или специфическими процессами на границе наполнитель -связующее потребуется дать ответ на другой вопрос. Почему масштабный эффект прочности наблюдается па характерных размерах, измеряемых и микрометрами, и сотнями микрометров?
Далее исследуется ситуация с кинетико-статистической точки зрения.
Появление повреждений в бесконечной матрице, содержащей сферическое включение

Рассмотрим бесконечный упругий материал, содержащий твердое сферическое включение. Нa границе матрица - частица наполнителя выполняются условия полного прилипания. Нa бесконечности приложено однородное поле нагружения, изменяющееся во времени. Пусть это будет одноосное растяжение вдоль оси х3 напряжением, равным
σ∞ = σ'∞ (t - t0),

где σ'∞ — константа, имеющая смысл скорости приложения нагрузки на бесконечности. Вычисления осуществим в рамках линейной Гуковой модели. Безусловно, более правильным в расчетах было бы использование нелинейных моделей с конечными деформациями среды, но они значительно затруднят задачу. В решениях изменятся только количественные значения величин. Качественный характер вычисленных закономерностей и их принципиальных отличий останется без изменения. Нac сейчас интересуют именно качественные отличия. Поэтому в расчетах далее будет использована более простая Гукова модель.
Покажем, что предлагаемая точка зрения способна воспроизводить наблюдаемые в экспериментах явления. В качестве инварианта σk в формуле (13) выберем среднее (гидростатическое) напряжение
σh = 1/3 (σ1 + σ2 + σ3).

Здесь символами σ1, σ2, σ3 обозначены главные напряжения в точках среды. В качестве скалярной характеристики отрывных усилий σа в формуле (14) на поверхности включения используем компоненту тензора напряжений σrr:
σa = σrr.

Это силы, отнесенные к единице площади на границе частицы, действующие со стороны связующего по оси r в сферической системе координат. В качестве основных характеристик для расчета условий появления повреждений σk и σa выбраны величины σh и σrr в целях точного воспроизведения места, где повреждения возникают. Ими являются в материале полюса сферических частиц.
Используем аналитическое решение. Поле гидростатических напряжений в матрице около частицы наполнителя описывается формулой
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Распределение компоненты тензора напряжений σrr задается выражением
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Эластомер считается несжимаемым материалом (коэффициент Пуассона матрицы равен 0,5). В приведенных зависимостях параметр rp обозначает радиус частицы наполнителя, r и 0 — координаты сферической системы координат, связанной с Декартовыми координатами x1, x2, х3 соотношениями
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Сразу отметим, что во всех испытаниях образцов будет наблюдаться только когезионное разрушение матрицы, когда вклад поверхностного интеграла в формуле (10) существенно меньше вклада от объемного интеграла:
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

В этом случае выражение (10) эквивалентно формуле (11).
Возможна и обратная ситуация. Во всех испытаниях будет фиксироваться адгезионный отрыв матрицы от поверхности частицы, когда знаки неравенства (16) изменятся на противоположные:
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

В этом случае выражение (10) эквивалентно формуле (12). Нa практике такого результата можно добиться с помощью специальной обработки поверхности включения. В расчетах подобный результат получается при задании нулю значений соответственно Ba в формуле (14) или Bk в формуле (13). Так мы и будем поступать. Это позволит нам анализировать раздельно когезионный масштабный и адгезионный масштабный эффекты прочности.
Осуществив необходимые математические выкладки, получим следующее. Вероятность появления когезионного повреждения в матрице определяется выражением
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

адгезионного разрушения (отслоения эластомера от поверхности частицы, появление вакуоли в системе) — выражением
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

в котором значения безразмерных величии Jk и Ja вычисляются по формулам
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

где ck = μnk + 1rp3, сa = μna + 1rp2. Здесь символ μ обозначает модуль сдвига эластомера. Объем V в данном случае бесконечен. Подынтегральное выражение в объемном интеграле отлично от нуля лишь па конечной части области V благодаря функции Хевисайда в выражении Fk(σk). Нетрудно проверить, что величины Jk и Ja представляют собой безразмерные функции параметра σ∞, не зависят от радиуса включения rp и скорости нагружения σ'∞.
Осуществим расчеты для конкретного материала. Пусть это будет эластомер Cis-4. Эксперименты выполнены Парком и Джентом. Их можно воспроизвести в расчетах, выбирая соответственно следующие значения констант: Dk = 7,17 * 10в7 МПа-3,3 * м_3 * с-1; nk = 3,3, σkmin = 1,7 МПа; Ba = 8,67*10в3 МПа-33 * м-2 * с-1; na = 3; σamin = 0; μ = 0,5 МПа. Для скорости приложения нагрузки на бесконечности σ'∞ выбираем значение 0,001 МПа/с.
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Результаты вычислений показаны на рис. 1. Именно в таких координатах представлены в работе Парка и Джента экспериментальные данные. Там же сделай вывод о разумности аппроксимации эмпирических результатов в указанных координатах линейной зависимостью напряжений σ∞ (вызывающих появление повреждения в системе) от величины D-0,5:
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

В наших же расчетах линейная связь получилась только для условия адгезионного разрушения. Однако нелинейная зависимость для условия когезионного разрушения в системе тоже хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Приведенные результаты говорят о достаточной разумности кинетико-статистического подхода. Имеет смысл попробовать применить его для других задач.
Факторы времени и пространства при анализе условий появления повреждений в системе с сильно неоднородным полем напряжений

Неожиданные результаты обнаруживаются в рамках используемого подхода при анализе условий появления повреждений в ячейке периодичности композита, включения которого расположены недалеко друг от друга. Решение задачи в объемном случае представляет собой трудоемкую вычислительную проблему. Пашей целью является иллюстрация новых качественных выводов. Поэтому для примера выбрана простая математическая модель. Она описывает главные черты поведения связующего в композитном материале (существенную неоднородность напряжений, контакт с наполнителем), позволяет вычислять эффективные свойства среды.
Пусть эластомер наполнен одинаковыми цилиндрическими волокнами бесконечной длины, ориентированными параллельно друг другу. Структура его периодична. В сечении композита (проведенном перпендикулярно направлению волокон) наполнитель представлен кругами с центрами в узлах правильной прямоугольной решетки. Материал находится в условиях одноосного макроскопического растягивающего напряжения. Нac интересует влияние фактора времени на особенности появления повреждений в связующем.
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Сравним результаты двух расчетов условий когезионного разрушения: 1) в ячейке периодичности композитного материала с толщиной ячейки вдоль оси ориентации волокон l (рис. 2, а); 2) в аналогичном объеме связующего без волокна (рис. 2, б). Символом l обозначено расстояние между центрами волокон в сечении композита. Полагаем, что наполнитель абсолютно твердый и прочно приклеен к матрице. Расстояние между волокнами равно 0,1 расстояния между их центрами (h = 0, 1l). Для простоты вычислений возьмем величину σkmin в формуле (9) равную нулю, a nk равное трем. Кроме этого, возьмем равной пулю функцию Fa(σa) (запрещаем появление адгезионного разрушения). В обоих случаях сравниваемые материалы деформируем с одинаковой макроскопической скоростью (моделируется ситуация, в которой образцы из чистого эластомера и композита испытываются на растяжение с одинаковыми скоростями движения захватов). Естественно, что в этих условиях скорость изменения напряжений в композите будет существенно выше, чем в ненаполненном эластомере. Обсуждаемые ниже расчеты выполнены методом граничных интегральных уравнений в предположении малых упругих деформаций. Коэффициент Пуассона полагается равным 0,495.
Нас интересует значение макроскопического растягивающего напряжения, при котором вероятность появления когезионного разрушения в выбранном нами элементе композитного материала равна 0,5. В результате расчетов установлено следующее. В исследуемой ячейке разрывные макроскопические растягивающие напряжения оказываются на 49% больше, чем в аналогичном объеме чистого связующего. Это говорит о том, что ячейка более стойка к когезионному разрушению.
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Повышение прочности эластомера в ячейке происходит несмотря на то, что композит представляет собой материал с концентраторами напряжений. В нем действуют два противоположно направленных механизма. С одной стороны, высокое значение напряжений в зазорах между волокнами понижает значение макроскопических нагрузок, при которых появляются когезионные разрывы. С другой, повышению когезионной прочности связующего способствуют: 1) существенное уменьшение объемов матрицы, противодействующих нагружению (объемов, где возможно появление разрушающих флуктуаций); 2) высокая скорость роста напряжений в перегруженных областях (что означает уменьшение интервала времени, на котором ожидается появление флуктуаций). Возможно, этим объясняется экспериментально наблюдаемая более высокая прочность некоторых композитов по сравнению с прочностью чистого эластомера без наполнителя (рис. 3).
• Понятия пространства и времени так oice существенно влияют на характеристики разрушения, как и величина действующих напряжений.
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Рассматриваемый эффект тем ярче, чем выше наполнение композита твердой фазой (рис. 4). В этом случае уменьшаются зазоры между включениями, внешнему нагружению противодействуют очень малые объемы связующего, скорость роста в них напряжений становится очень высокой. Отметим еще одну интересную особенность. Вероятность появления когезионного повреждения в описанной ячейке периодичности композитного материала существенно зависит от всей истории нагружения. Пусть в нем происходит отслоение матрицы от частиц наполнителя в ситуации, когда вероятность адгезионного разрушения
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

становится равной 0,5. Символом ta обозначен момент отслоения матрицы от включения. Отношение величин Bk и Ba будем произвольно менять:
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Вероятность когезионного разрушения определяем по формуле (11), которая принимает вид уравнения
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Символом tk обозначен момент когезионного разрушения. Интегралы J1 и J2 задаются следующими равенствами:
Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Отличаются они только распределением нолей напряжений σk в матрице (обозначим их соответственно σk* и σk**). Интегрирование в формулах ведется по объему V связующего в ячейке периодичности композиционного материала. В первом интеграле поля напряжений соответствуют неотслоенной ситуации, во втором - ситуации, когда произошло отслоение. При этом считаем, что отслоение происходит сразу по всей поверхности частицы и связующее мгновенно начинает скользить по границе включения или отходить от него. Это допущение сделано исключительно в целях упрощения математической модели. Поскольку нас интересует иллюстрация новых качественных возможностей, задача поставлена так, чтобы исключить из рассмотрения проблему вычисления полей напряжений с сингулярной особенностью в окрестности резкой смены граничных условий.
Расчеты показывают, что в рассматриваемой ячейке композита (h/l = 0, 1) эффективные напряжения (при которых с вероятностью 0,5 происходит появление когезионного разрушения) существенно зависят от момента появления адгезионного отрыва матрицы от включения. Причем, в зависимости от соотношения параметров Bk/Ba, оно может изменяться в 6,6 раза. В материалах с более прочной адгезионной связью когезионный разрыв связующего наступает позже.
Таким образом, предложенный подход содержит в себе возможность объяснения хорошо известной из экспериментов связи между прочностью скрепления матрицы с включениями и особенностями когезионного разрыва связующего. В математическую модель не требуется для этого вводить дополнительное представление об упругих слоях вокруг включений с особыми свойствами.
• В рамках предлагаемого подхода вид абсолютно твердого наполнителя может влиять на особенности макроскопического разрушения композита.
Поясним это более подробно. С точки зрения обычных критериев прочности, разрыв матрицы должен происходить, когда в связующем будут достигнуты критические напряжения. Момент отрыва матрицы от включения в таком рассуждении не существен. Следовательно, не существенно и качество склейки с наполнителем. Лишь бы отслоение матрицы от включения происходило до когезионного разрушения связующего. Приведенный пример характеризует еще одну важную особенность предлагаемого нами подхода — в рамках его имеется связь между адгезионной и когезионной прочностью материала.
Рассматриваемые примеры показывают следующее. В границах используемой математической гипотезы факторы времени и пространства оказываются столь же существенными, как и фактор величины действующих напряжений. Это дает возможность учесть историю нагружения материала, скорость его деформирования и масштабный фактор при прогнозе вероятности появления единичного повреждения.