Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

27.08.2015

Рассмотрим меру упругой деформации Коши — Грина G.
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Она представляет собой симметричный положительный тензор, т. е.
1) его правые собственные векторы gi являются одновременно и левыми:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

2) собственные значения представляют собой неотрицательные числа (обозначим их квадратами некоторых параметров λi); 3) собственные векторы gi всегда могут быть представлены ортонормированной тройкой векторов. Обозначим символом О тензор поворота, переводящий базисные векторы прямоугольной Декартовой системы координат ei в ортонормированную тройку собственных векторов gi тензора G:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Нa основании сказанного, меру упругой деформации Коши — Грина G можно записать в виде выражения от ее собственных значений λi2, тензора поворота О и базисных векторов ei:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

а квадраты упругих удлинений вдоль главных осей λi2 представить с помощью формул
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

В данной работе рассматриваются материалы, плотности свободных энергий компонент которых fi являются функциями температуры среды 0, характеристик ее обратимых деформаций λi и концентраций жидких компонент смеси φ1,...,φN. Полагаем, что они имеют следующий вид:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Под концентрациями жидких компонентов смеси подразумеваются выражения
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

В зависимости от физического смысла констант βj они могут иметь значения объемной доли жидкого компонента, массовой доли, мольной доли (отношение числа молекул данного вида к общему числу молекул в малом объеме) и т. п.
Изменение параметров состояния упругой среды

Рассмотрим, как меняются по времени характеристики обратимых деформаций λi. Продифференцируем равенство (35) по времени t. С помощью кососимметричпого тензора W
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Правила свертки тензоров и кососимметричность тензора W позволяют упростить полученное выражение:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Таким образом, задача расшифровки закона изменения λi во времени свелась к анализу поведения производной от тензора G.
Еще раз отметим, что пашей целью является формулировка всех уравнений в координатах t, r*. Это касается и особенностей записи тензора G. Перейти к ней позволяет связь
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Она справедлива, поскольку полагается возможным выражение векторов ra и r* друг через друга и оно не зависит от времени t:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

В результате мера упругой деформации Коши — Грина G представляется выражением
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

От него нетрудно взять производную по времени t. Поскольку тензор QA не зависит от времени, искомая производная имеет вид
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Изменим правую часть равенства (40), включив в слагаемые свертку с единичным тензором:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Связь (38) позволяет записать в новом, более коротком виде полученное выражение:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Для дальнейшего анализа потребуется более конкретная расшифровка смысла тензора Qа, Рассмотрим ее. В соответствии с теоремой о полярном разложении тензоров, справедливо равенство
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

в котором положительный симметричный тензор H и ортогональный тензор Oа определяются формулами
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

На основании представлений (32), (34) легко установить непосредственный вид тензора Н:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Поэтому искомый тензор Qа может быть представлен с помощью записи
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

в которой символом Оf обозначен тензор поворота
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Легко проверить, что это тот самый ортогональный тензор, который получается при представлении собственных векторов hi меры упругой деформации Фингера F через базисные векторы ei прямоугольной Декартовой системы координат (подобно тому, как это было сделано выше при анализе вида меры деформации Коши — Грина). Отметим также, что собственными значениями тензора F выступают величины λi2, которые являются одновременно и собственными значениями тензора G:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Оно позволит нам переписать производную по времени от параметра λi (37) в новом виде:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Используя формулировку (26) и связи (33), (44), получаем окончательный вид искомого выражения:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Определяющие уравнения процессов

Вернемся к анализу термодинамического неравенства (31). Массовые плотности свободных энергий fi зависят только от параметров 0, φ1,...,φN, λ1, λ2, λ3 (согласно сделанному предположению (36)). В свою очередь величины φ1,...,φN выражаются через характеристики содержания жидких компонентов смеси Q1*,...,QN*. Они изменяются с течением времени (в противоположность неизменной характеристике Q0*). Поэтому в дальнейшем изложении всюду будем полагать в качестве изменяемых параметров состояния среды величины 0, Q1*,...,QN*, λ1, λ2, λ3, ξ1. Раскроем значения производных от плотностей fi:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Суммирование по индексу к начинается не с нуля, а с единицы, в соответствии с условием (18). Конкретный вид производной от параметра λi по времени t мы уже определили (45). Используя обозначение
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

перепишем термодинамическое неравенство (31) в более удобном для анализа виде:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Учитывая, что скорости vi* определены выражениями (7), справедливо равенство (19) и законы сохранения массы (17) могут быть сформулированы в виде
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

перепишем ограничение:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Таким образом, требование непротиворечивости математической модели первому и второму законам термодинамики свелось к удовлетворению неравенства диссипации, сформулированного в виде. Существует множество способов построить определяющие уравнения поведения материала, которые удовлетворяют этому неравенству. Ниже приводится одна из возможных физически разумных систем уравнений. Рассмотрим ее.
Пусть поведение континуума определяется связями
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Причем для любого набора векторов аi (r = 1,..., N) должно выполняться неравенство
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Первое равенство в системе уравнений (50) фиксирует известное в термодинамике утверждение. Массовая плотность энтропии среды si равна производной от массовой плотности свободной энергии fi по температуре 0, взятой с противоположным знаком.
Следующие выражения (47), (51) известны в механике. Величина главных значений равновесных компонент напряжений σei однозначно определяется массовыми равновесными плотностями свободной энергии среды fi. При этом их пространственная ориентация определяется собственными векторами hi меры деформации Фингера F.
Равенство (56), переписанное с учетом связи между операторами градиента места в актуальной r и рассматриваемой r* конфигурациях
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

представляет собой закон теплопроводности Фурье. Его физический смысл сводится к утверждению того, что передача тепла в континууме происходит всегда из более горячих областей материала в более холодные.
Рассмотрим теперь особенности моделирования массообменных процессов. Подставим для этого значения напряжений Ti, действующих на r-й континуум, и силы взаимодействия fi из формул (52)-(55) в уравнение движения (24):
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Определим аналоги химических потенциалов жидких компонентов смеси с помощью выражений
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Они отличаются от реальных химических потенциалов /л,- только сомножителем Qio:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

где mi — масса одного моля r-го континуума. В результате закон движения (59), с учетом связи между операторами градиента места в актуальной r и рассматриваемой r* конфигурациях, переписывается в следующей формулировке:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Таким образом, движение i-го континуума происходит вследствие неоднородности химического потенциала μi (или его аналога μio) и поля температур 0. При этом движению противодействуют силы вязкого взаимодействия компонентов смеси ηQik Qk (vk — v0).
Последнее, в чем осталось убедиться, — это справедливость неравенства (49). Сразу следует отметить, что симметричность полного тензора напряжений T и кососимметричность тензора WD обращают в ноль результат их двойной свертки:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Используя выражения (50)-(56), (62), преобразуем ограничение (49):
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Второе слагаемое в полученном выражении не может принимать отрицательных значений. Доказывается это с помощью следующего преобразования
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Первое слагаемое неотрицательно в соответствии с условием (58).
Для моделирования проходящих в среде процессов необходимо сформулировать еще одно уравнение — теплопроводности. Для его получения необходимо подставить в закон сохранения энергии (27) с помощью связи (30) выражение массовой плотности еi через характеристики fi, 0, si:
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

В равенстве (64) необходимо раскрыть значения производных но времени от величин Это осуществляется с помощью приведенных ниже формул. Первая получается па основе зависимостей (45), (47), (51) и имеет вид
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

В итоге рассматриваемое выражение (64) при подстановке выписанных формул и зависимостей (50), (62) принимает вид
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере

Эта связь и представляет собой закон теплопроводности. Изменение энтропии системы происходит за счет переноса ее потоками компонентов смеси, теплообмена среды с соседними областями, в результате выделения тепла в условиях вязкого взаимодействия компонентов смеси при движении друг относительно друга.
Краткая информация о модели

Для записи математических уравнений в отсчетной конфигурации используем основные характеристики состояния среды, перечисленные в табл. 4. Часть из них представляют собой известные физические параметры состояния среды, другая часть является удобным обозначением нужных нам математических выражений.
Все процессы в материале в рамках рассматриваемой модели описываются уравнениями, сформулированными в табл. 5.
Свойства материала задаются скалярными функциями fi, ηq, ηQik (табл. 6). Их необходимо определять экспериментально. При этом величины ηq, ηQik могут быть функциями параметров состояния материала 0, φ1,...,φN, λ1, λ2, λ3 и их производных по времени. Важно только, чтобы удовлетворялись неравенства (57), (58).
Тензор напряжений среды Т, плотности энтропии компонентов смеси si и аналоги химических потенциалов жидких составляющих материала μi0 однозначно выражаются через плотности свободных энергий fi.
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере
Математическая модель поведения пластификатора в неоднородно нагруженном эластомере