Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

27.08.2015

Приводимый в этом разделе вывод определяющих уравнений воспроизводит выкладки, впервые осуществленные в работах, со следующими отличиями: 1) промежуточные преобразования и конечные результаты сформулированы не в актуальной, а в отсчетной конфигурации; 2) выражение свободной энергии зависит от главных удлинений деформируемого компонента (а не от градиента радиуса-вектора перемещений). Второй момент не существенен, но лучше его учесть сразу. Рассмотрим основные посылки теории и следствия из них. Это позволит перейти в дальнейшем к анализу свойств пластифицированных эластомеров и явлений массообмена.
Используемые обозначения

Опишем поведение среды, представляющей собой смесь деформируемого компонента (все величины, характеризующие его, имеют номер ноль) и N жидких компонент (все величины, относящиеся к ним, соответственно нумеруются от единицы до N).
Фиксируем символами t0, t, t* начальный, текущий и отсчетный (произвольно выбранный между ними) моменты времени:
t0 ≤ t* ≤ t.

Термин ’’отсчетный” применительно к моменту t* используется в связи с тем, что все определяющие уравнения ниже будут сформулированы в координатах r*, которые имели точки деформируемого компонента среды в момент t*. Описание поведения смеси в координатах r* необходимо для построения эффективных алгоритмов решения практических задач (в частности для использования в расчетах модифицированного метода Лагранжа). Величинами ra и r обозначим радиусы-векторы точек деформируемого компонента среды в пространстве соответственно в начальный t0 и текущий t моменты времени.
Безусловно, для анализа механического поведения среды необходимо знать особенности протекания массообменных процессов. Для этого точки жидких континуумов нужно фиксировать и наблюдать их дальнейшее движение. С этой целью используем далее понятие радиуса-вектора ri*, фиксирующего положения точек жидкого компонента смеси с номером i в момент t*.
В приводимых ниже выкладках часто применяются тензоры
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

При их вычислении вектор r в первом равенстве рассматривается как функция аргументов t, ra. Во втором и третьем равенствах величины rа, r представлены функциями аргументов t, r*.
Нам потребуются в дальнейшем единичный тензор
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

где r = xiei; r* = xi*ei; ei — базисные векторы прямоугольной Декартовой системы координат.
В математических выражениях символы тензоров с верхними индексами — 1 и T соответственно обозначают обратные и транспонированные тензоры. Точка между тензорными или векторными выражениями применяется для обозначения операции свертки между ними. Нижний индекс, заключенный между символами {} около закрывающейся круглой скобки
(...) {i},

говорит об отсутствии суммирования по нему в выделенных скобках. В противном случае, если специально не указан знак суммирования с границами изменения индекса
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

то суммирование должно производиться от единицы до трех.
Индекс r у вертикальной черты при взятии частной производной по времени указывает на то, что стоящее в операторе
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

выражение представлено функцией аргументов t, r. В свою очередь отсутствие вертикальной черты с индексом при частной производной
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

подразумевает, что выражение (от которого берется частная производная) является функцией аргументов t, r*. По аналогии с этим индекс * и номер i у вертикальной черты указывают на то, что стоящее в операторе
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

выражение представлено функцией аргументов t, ri*.
Цель приводимых ниже выкладок — формулировка всех требуемых для решения задач уравнений в координатах r* и практическое использование полученных выражений.
Первый закон термодинамики и его следствия

Перейдем к формулировке исходных выражений и анализу следующих из них выводов. Рассматриваем среду как смесь взаимопроникающих деформируемого и N жидких континуумов.
Запишем первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) в виде
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Считаем, что он выполняется для любого произвольно выделенного фиксированного в пространстве объема V в любой момент времени.
Скорость движения точек деформируемого континуума определяется производной по времени от радиуса-вектора их координат
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

С помощью теоремы Гаусса — Остроградского перепишем первый закон термодинамики в виде суммы объемных интегралов
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Как отмечалось выше, данная связь справедлива для любого произвольного объема V. Следовательно, она может быть сформулирована в дифференциальной форме
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Для осуществления дальнейших преобразований требуется использование третьего инварианта тензора QRT*QR. Обозначим его символом I*з:
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

справедливых для произвольного векторного ноля b и скалярного поля ψ, перепишем зависимость (4) в виде
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Это не что иное, как формулировка закона сохранения энергии в координатах t, r*.
Рассмотрим сразу физический смысл скоростей vi* при значениях величины i большего нуля. Покажем, что скорость vi* есть не что иное, как частная производная по времени от радиуса-вектора r*, записанного в виде функции координат t, ri* при фиксированных значениях радиуса-вектора ri*:
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Сами относительно себя точки деформируемого континуума менять положение не могут. В координатах, двигающихся вместе с деформируемым континуумом, их положение зафиксировано раз и навсегда радиусом-вектором r*. Выполняется условие
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

При записи радиуса-вектора r* в виде функции аргументов t, r оно преобразуется в связь
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Используя физический смысл скорости v0 (3) и обозначение (2), получаем окончательную зависимость
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

и доказано утверждение (9).
Таким образом, скорость vi* представляет собой скорость движения i-гo континуума в пространстве координат r*. Ho координаты r* нанесены на точки деформируемого компонента смеси и двигаются вместе с ним. Величина vi* фиксирует относительную скорость движения жидкости через деформируемый континуум и показывает, насколько быстро она протекает или диффундирует сквозь него. Так как все величины и уравнения записываются в координатах, нанесенных на точки деформируемого компонента смеси, то и скорость относительного движения жидкого континуума формулируется в них. Естественно, что физический смысл величины vi* сохраняется и для значения индекса i, равного нулю. В соответствии с формулой (7)
V0* = 0.

Точки деформируемого континуума относительно нанесенных на него координат двигаться не могут.
Учтем следующее утверждение. Первый закон термодинамики должен выполняться в любой инерциальной системе отсчета. При этом равномерное поступательное движение начала координат никаким образом не должно отражаться на значениях плотностей масс Qi, плотностей внутренней энергии еi, тензоров напряжений Ti, количественной характеристики степени деформирования материала QR и значениях теплового потока q. Данное утверждение можно сформулировать иначе. Добавление равномерного поступательного движения всем точкам материала не должно приводить к нарушению вида записи первого закона термодинамики и изменять значения перечисленных характеристик состояния среды. Это естественное требование влечет за собой важные следствия. Рассмотрим их. Ho вначале дадим точную математическую формулировку высказанного требования.
Добавим всем точкам среды равномерное поступательное движение со скоростью v{}. Учтем тот факт, что скорости vi* при этом измениться не могут. Выражение (8) примет вид
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Считаем, что оно выполняется для любого произвольно заданного значения векторной постоянной v{}. Это наша отправная гипотеза. Преобразуем связь. Сгруппируем слагаемые в равенстве (12) относительно степеней вектора v{}:
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

В приведенной записи выражение vi*vi обозначает тензор второго ранга, образованный внешним произведением векторов vi* и vi.
Новые зависимости могут быть получены из равенства (13) путем дифференцирования его по вектору v{} соответственно один
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Они имеют простой физический смысл. Рассмотрим его.
Требование (15) представляет собой формулировку в координатах t, r* закона сохранения массы:
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

При записи выражения для m0* учтен факт равенства нулю вектора v0*. Величины mi* представляют собой скорости производства массы соответствующего компонента смеси в точках среды. Нac интересует случай отсутствия химических реакций и материале. Поэтому далее мы будем полагать все величины mi* равными нулю. Ho это не что иное, как требование выполнения равенств
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Величины Qi* = √I*зQi имеют физический смысл плотностей континуумов в точках среды (бесконечно малых объемах), двигающихся вместе с деформируемым компонентом смеси. Условие (16) означает требование независимости величины Q0* от времени I:
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Точки деформируемого континуума неподвижны в координатах, двигающихся вместе с этим континуумом, и перераспределять свою массу относительно указанных координат не могут. В свою очередь выражения (17) представляют собой условия сохранения массы жидких компонент смеси.
Связь (14) с учетом законов сохранения массы (17), (18) принимает вид условия
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Это уравнение движения среды. Символом T обозначен тензор напряжений, действующий в точках среды. Oн складывается из напряжений, действующих на компоненты смеси:
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

являются ускорениями соответствующих континуумов. Покажем это. Ускорение i-го компонента смеси вычисляется по формуле
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

При записи скорости движения vi в виде функции аргументов t, r* с учетом (9) выражение (22) преобразуется к виду
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Зависимости (23) представляют собой законы движения компонентов смеси
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

в которых величины fi имеют смысл сил взаимодействия ее компонентов друг с другом.
Нa основании равенств (14), (15), с учетом законов сохранения массы (17), (18) в зависимости (13) ненулевыми будут только следующие слагаемые:
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Выписанное выражение можно дальше упростить, раскрывая производную по времени от свертки v*v, используя условие (19), определение (21) и тождество
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Для получения дальнейших выводов требуется использование второго закона термодинамики. Рассмотрим его.
Второй закон термодинамики и его следствия

Все процессы в системе возможны только при самопроизвольном росте или неизменности объемной плотности энтропии смеси. Уменьшение ее происходит лишь под действием окружающей среды (за счет отвода из материала тепла). Мы используем далее в качестве формулировки второго закона термодинамики неравенство Клаузиуса — Дюгема
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

где si — массовая плотность энтропии i-го континуума; 0 — температура смеси. Естественно, что это неравенство должно выполняться для любого фиксированного объема V. Следовательно, справедлива дифференциальная его формулировка (получаемая с помощью формулы Остроградского — Гаусса):
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Уравнение (28) записано n переменных t, r. Нашей целью является формулировка всех уравнений в координатах t, r*. Перейти к ним можно с помощью формул (5), (6):
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Законы сохранения массы (17), (18) и обозначение (7) позволяют преобразовать полученное неравенство
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Умножив его на температуру среды Ot разделив на выражение √I*з и используя тождество Пиола (19), прийдем к окончательной формулировке:
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Необходимые нам связи получены. С их помощью можно сформулировать требование термодинамической разумности уравнений, предлагаемых математическими моделями. Для этого вычтем из закона сохранения энергии (27) ограничение (29).
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

C помощью понятия массовой плотности fi свободной энергии среды i-го компонента смеси
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

основное термодинамическое неравенство преобразуется к виду
Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Оно должно выполняться для любого происходящего в материале процесса. Его мы и будем использовать в дальнейшем. Нa этом заканчивается первый этап построения математической модели. Конкретизация ее должна осуществляться применительно к определенным классам материалов.