Метод вычисления эффективных характеристик в ансамблях включений

27.08.2015

Из приведенного обзора литературы следует, что строгим и, пожалуй, наиболее распространенным способом оценки эффективных свойств неоднородных структур является осреднение структурных напряжений и деформаций по объему материала. В исследуемых системах такое осреднение из-за высоких локальных градиентов напряжений и деформаций средствами современной вычислительной техники вряд ли возможно. В связи с этим нами был разработай другой способ вычисления эффективных показателей, названный методом внешнего поля.
Сущность метода заключается не в оценке напряжений и деформаций внутри ансамбля включений, а в оценке возмущения во внешнем поле матрицы, вызванного наличием в матрице этого ансамбля.
Рассмотрим в качестве примера случайный ансамбль в форме, приближенной к кругу, состоящий из 19 абсолютно жестких ( E = 10000, v = 0, 5) включений, расположенных в бесконечно несжимаемой матрице (E = 1, v = 0,5) (рис. 13). Заполнение круга твердой фазой составляет 50%. Матрица на бесконечности нагружается единичным растягивающим напряжением P=1 в направлении оси X.
Метод вычисления эффективных  характеристик в ансамблях включений

Эффективными свойствами ансамбля будем считать свойства некоторого однородного упругого круглого включения, производящего в матрице поле напряжений, идентичное полю, произведенному ансамблем.
Схема расчета имеет следующий вид. Вначале для условий (рис. 13) методом итераций идет поиск решения краевой задачи, которое определяет напряжения и деформации в матрице внутри и вокруг ансамбля. Затем отыскивается радиус и модуль однородного круглого упругого включения, производящего в матрице поле напряжений, наиболее близкое к нолю, образованному ансамблем.
Поле напряжений, образованное однородным включением, дается известными формулами:
Метод вычисления эффективных  характеристик в ансамблях включений

где R — радиус включения, σr, σθ, тrθ — известные напряжения из решения краевой задачи.
Для случая упругого включения в матрице
Метод вычисления эффективных  характеристик в ансамблях включений

Метод вычисления эффективных  характеристик в ансамблях включений

где μ0 — модуль сдвига эффективного включения, μ — модуль сдвига матрицы, г, 0 — полярные координаты точки на плоскости, v — коэффициент Пуассона матрицы, v0 — коэффициент Пуассона эффективного включения.
В качестве левых частей системы (2) подставляем напряжения, вычисленные для ансамбля включений, и решаем систему уравнений (2) относительно R, β, δ.
Метод вычисления эффективных  характеристик в ансамблях включений

Обозначим через А = δR2 , В = δR4, С = yR2 получим систему уравнений
Метод вычисления эффективных  характеристик в ансамблях включений

Из системы уравнений (5) найдем А, В, С, тогда
Метод вычисления эффективных  характеристик в ансамблях включений

Как следует из (5), для определения А, В, С в принципе достаточно задать значения σr, σθ, σrθ. Ho, так как ансамблевое поле не является точным отображением поля, производимого однородным включением, поиск решения принимает статистический характер: для получения наилучшего приближения в качестве входных данных следует использовать достаточно большое количество равномерно распределенных точек поля с последующим отысканием методом наименьших квадратов коэффициентов А, В, С в линейном уравнении (5). В расчете использовали точки, представленные на рис. 14. Для условий рассматриваемой конкретной задачи (см. рис. 13) исследуемый ’’ансамблевый” шестигранник оказывается замененным однородным включением с радиусом R = 6, 07 и модулем Юнга Ef = 3,84.
Размеры представительного ансамбля

Представительным будем называть ансамбль минимальных размеров, эффективные свойства которого существенно не изменяются при увеличении его размеров.
Определим зависимость эффективных упругих характеристик от размеров регулярного ансамбля при сохранении постоянного уровня наполнения (в данном случае 50%). Рассмотренные варианты представлены на рис. 15, где приведены соответствующие значения эффективного модуля Юнга. Полученный результат дает основание предположить, что ансамбль, насчитывающий 19 включений, можно принять в качестве представительного.
Метод вычисления эффективных  характеристик в ансамблях включений