Парные взаимодействия

27.08.2015

Включения одинаковых размеров

Основной интерес авторов монографии сосредоточен на исследовании высоконаполненных систем, в которых включения расположены достаточно близко друг к другу. Очевидно, что в таких условиях парные взаимодействия между соседними включениями могут играть важную роль, и поэтому представляется целесообразным специальное исследование парных взаимодействий.
В расчетах принимали модуль упругости матрицы Em = 1, коэффициент Пуассона vm = 0,5, включения — абсолютно жесткими (недеформируемыми) элементами системы.
Геометрическая схема и условия нагружения исследуемой системы приведены на рис. 1. Когда включения удалены друг от друга, каждое из них слабо (практически незначимо) ”ощущает” присутствие другого.
Распределение средних напряжений и максимальных главных деформаций вокруг отдельных включений в таких случаях принимает вид (рис. 2), который выявляет существование двух типов концентрации напряжений в матрице, окружающей включение: гидростатической (точка 1,5 на рис. 2,а) и девиаторной (деформационной) (точка 1,5 на рис. 1,6). Видно, что области гидростатической и деформационной концентрации не совпадают, каждый фактор действует независимо и представляет собой самостоятельный источник возможного структурного повреждения.
Исследуем, как изменяется напряженно-деформированное состояние вокруг включений при их сближении.
Парные взаимодействия
Парные взаимодействия

Для оценки степени влияния соседнего включения на поле вокруг данного включения можно использовать относительное изменение какого-нибудь характерного показателя напряженно-деформированного состояния, например максимума среднего напряжения или максимальной деформации. В дальнейшем будем использовать при сравнениях среднее напряжение в характерной точке А (см. рис. 1). Левое включение, расположенное в начале координат, будем удерживать неподвижным, а правое приблизим к нему. В точке А на поверхности левого включения определим величину
I = (σo)δ/(σo)∞ - 1,

где I — мера влияния правого включения; (σo)δ — среднее напряжение при расстоянии между частицами δ; (σo)∞ — среднее напряжение при бесконечно удаленных друг от друга включениях.
Очевидно, что для очень удаленных включений I равно нулю. На рис. 3 показана зависимость I от δ. Видно, что заметное возрастание чувствительности происходит, когда промежуток между включениями становится менее 4 радиусов включения (8-10% наполнения). Аналогичные зависимости получаются и при использовании других показателей напряженного или деформированного состояния.
Парные взаимодействия

Расчеты показывают, что по мере сближения включений существенно изменяется поле напряжений и деформаций в промежутке между ними, возрастают средние напряжения и максимальные деформации (рис. 4,5), отрывные и сдвиговые контактные напряжения. Промежуток между включениями становится участком матрицы, в котором происходит значительное накопление упругой энергии. Нa внешней части включений и вблизи них поля напряжений и деформаций меняются слабее.
Сравним темпы возрастания максимальных средних напряжений и максимальных деформаций при уменьшении промежутка между включениями (рис. 6). Видно, что средние напряжения растут гораздо быстрее, чем деформации. Это указывает на то, что роль средних (гидростатических) напряжений в формировании эффективного модуля упругости усиливается в связи с растущей стесненностью деформаций.
Парные взаимодействия
Парные взаимодействия

Сжимающие средние напряжения не представляют опасности для целостности матрицы, однако растягивающие, как отмечено выше, могут вызывать внутренние ее разрывы и отслоение от поверхности включений. Поэтому выявление всех условий, при которых возникают и усиливаются положительные средние напряжения, представляет существенный интерес. Ясно, что обязательным условием для этого должно быть увеличение промежутка между включениями после нагружения матрицы. Такое состояние возникает и при приложении сжимающей нагрузки (см. рис. 1), когда горизонтальное растягивающее напряжение р = 1 заменяют вертикальным сжимающим q = -1. И хотя эффективное среднее напряжение в окружающей матрице становится сжимающим, равным -0,5, в зазоре между включениями оно остается положительным и быстро растет по мере их сближения. Например, когда промежуток между включениями составляет 0,1 радиуса, среднее растягивающее напряжение, вызванное внешним сжатием, D 8 раз по абсолютной величине превышает внешнюю нагрузку.
Очевидно, что наложением по обеим осям достаточно высокого внешнего давления P всегда можно защитить зазор между включениями от ’’гидростатических” разрывов. Это давление зависит от величины зазора между включениями и разности внешних сжимающих усилий |q—p|, заданных по осям. Расчеты показывают, что отмеченная зависимость может быть представлена эмпирической формулой
P = |q—р|/1,6δ,

где q — вертикальное сжимающее напряжение; р — горизонтальное сжимающее напряжение.
Из этого выражения следует, что для подавления зон с положительными средними напряжениями при малых δ требуются высокие внешние давления (например, при δ = 0,1 и |q—р| = 5 величина P должна быть равна 30). Этот пример хорошо иллюстрирует возникновение вертикальных трещин в образцах из структурно-неоднородных материалов (бетон) при их сжатии: трещины — результат поперечных разрывов между горизонтальными жесткими элементами композита при его вертикальном сжатии.
Внутренние разрывы при деформировании высоконаполненных структурно-неоднородных материалов объясняют наблюдаемое в опытах заметное увеличение их объема, даже в тех случаях, когда образцы подвергают сжатию.
Парные взаимодействия

Расчеты показывают, что приложение внешних нагрузок под различными углами по отношению к линии центров включений не приводит к более высоким напряжениям и деформациям, чем рассмотренные выше. Наиболее неблагоприятная ситуация создается, когда воздействие осуществляют вдоль линии центров.
Влияние слоев на напряженно-деформированное состояние эластомерной матрицы

При разработке композиционных материалов много внимания уделяется оценке роли поверхностных слоев, почти всегда образующихся вокруг включений в результате физического и химического взаимодействия полимерной матрицы с поверхностью частиц наполнителя. Интерес материаловедов при этом направлен к поиску таких структурных вариантов, которые могли бы понизить уровень напряженного состояния матрицы и отдалить момент возникновения повреждений структуры. Эта задача решается на сугубо эмпирической основе без четкого понимания, как слои влияют на структурные напряжения, и, следовательно, без целенаправленного воздействия на поведение композитов. Присутствие слоев изменяет поле напряжений и деформаций в приповерхностном слое. Неоднородность напряженного состояния может при этом усиливаться или ослабляться. Цель данного исследования - количественная оценка влияния слоев на микронапряженное состояние композитной системы и поиск вариантов, уменьшающих пиковые структурные напряжения и деформации.
С учетом того, что структурные повреждения могут произойти и от гидростатического растяжения, и от деформации девиаторной природы, структурную оптимизацию мы представляем себе как средство уменьшения максимальных величин отмеченных выше показателей.
Рассмотрим систему из двух включений (рис. 7), окруженных непересекающимися слоями одинаковой толщины. Материал матрицы и слоев принимаем упругим и несжимаемым. Нa бесконечности прикладывается единичное растягивающее напряжение, действующее вдоль линии центров включений. Все элементы системы жестко скреплены друг с другом. Свойства системы определяются следующими параметрами: толщиной слоя H, модулем Юнга Ec, коэффициентом Пуассона vc — для слоя, соответственно для матрицы — Em, vm, зазором между включениями δ, расстоянием между центрами включений l.
Парные взаимодействия

Типовая картина распределения средних напряжений, когда модуль слоя больше модуля матрицы, и аналогичное распределение для варианта без слоя представлены на рис. 8 (H = 0, 2, Ec/Em = 3, l = 2,9, δ = 0,9). Из сравнения следует, что напряженное состояние матрицы в зазоре усиливается. Появление более жесткого, чем матрица, переходного слоя качественно не изменяет распределения средних напряжений, а как бы дважды повторяет картину около контактных поверхностей.
В общем случае распределение гидростатических напряжений зависит от толщины слоя, отношения модулей матрицы и слоя, расстояния между включениями. Задача заключается в поиске такой их комбинации, которая минимизировала бы гидростатическую напряженность матрицы и слоя.
Из литературы известно, что прочность эластомеров по отношению к гидростатическому растяжению можно в первом приближении принимать равной модулю Юнга эластомеров. Поэтому при оптимизационном анализе напряженное состояние матрицы и слоя целесообразно представлять в виде отношений средних напряжений в матрице и в слое к соответствующим модулям Юнга. Задача сводится к подбору такого сочетания структурных параметров, при котором указанные показатели минимизируются.
Когда включения значительно удалены друг от друга, например, свободный промежуток между ними равен 16, образование вокруг частиц слоя толщиной 2,1 с модулем 1,86 дает минимум концентрации напряжений, равный 0,918, который в 1,65 раза меньше, чем в варианте без слоя. Однако по мере сближения включений этот выигрыш становится все меньше, и когда промежуток между поверхностью включений уменьшается до 0,9, вариант со слоем вырождается в бесслойный как наиболее выгодный. Это утверждение справедливо в обоих случаях, если модуль слоя больше и меньше модуля матрицы.
Таким образом, при условии жесткого скрепления между матрицей, слоями и включениями, при достаточно высокой концентрации появление слоев не может ослабить концентрацию гидростатических напряжений в случае близкого расположения включений.
Парные взаимодействия

Расчеты показывают: когда включения далеки друг от друга, существует некоторая оптимальная комбинация толщины и модуля слоя (H = 1,83 и Eс = 1,99), при которой деформационный максимум удается понизить до 0,915, т.е. в 1,65 раза по сравнению с вариантом без слоя. Однако по мере сближения включений выигрыш за счет слоя становится все меньше, и, когда промежуток между включениями уменьшается до 0,3, предпочтительным вариантом снова становится бесслойный.
Таким образом, и в отношении деформаций должен быть справедлив вывод, сделанный выше применительно к гидростатическим напряжениям: при достаточно высоких концентрациях твердых включений наличие слоев, прочно скрепленных с включениями, не может привести к значительному ослаблению деформационной концентрации.
Этот безрадостный вывод может быть, однако, пересмотрен, если принять, что слои не скреплены с включениями, но остаются связанными с матрицей. Имитация такого состояния может быть реализована (по-видимому, без большой погрешности), если заменить жесткие включения пустотами, окруженными слоями. В этом случае расчеты выявили высокую эффективность слоев как средства ослабления концентрации микронапряжений и микродеформаций.
На рис. 9 для примера сравниваются распределения величин (σo/Em в оптимальной системе и в бесслойном варианте. Видно, что в варианте без слоя максимальное гидростатическое напряжение выше и равно 2,0, а в варианте со слоем — 1,1. Эта высокая эффективность сохраняется и при уменьшении расстояния между включениями. Характерная особенность таких систем — небольшая толщина и высокая жесткость оптимизированных слоев.
Парные взаимодействия

Аналогичная закономерность наблюдается и в деформационных полях. Нa удаленных включениях соответствующим выбором толщины и модуля удается снизить концентрацию деформаций в 1,62 раза. При уменьшении расстояния между включениями указанное понижение концентрации сохраняется.
Область значений H и Ec вблизи деформационного оптимума очень полога. В связи с этим создается возможность реализации оптимума при различных толщинах слоев путем правильного выбора значений модуля. Оказалось, что для заданного расстояния δ между включениями произведение
Парные взаимодействия

в области оптимума является практически постоянной величиной. Однако η зависит от расстояния между включениями. Форма этой зависимости показана на рис. 10.
Таким образом, когда материаловедам удастся создавать материалы, в которых слои вокруг включений (заданной толщины и заданного модуля) связаны с матрицей и не скреплены с включениями, можно ожидать значительный прогресс в повышении прочностных свойств композитов.
Парные взаимодействия

Включения, различающиеся размерами

Если размер включений в паре неодинаков, поле напряжений и деформаций в матрице в общем случае теряет признаки симметрии.
Расчеты показывают, что размер области, где однородное поле матрицы заметно возмущается присутствием одиночного включения, охватывает круг радиусом, примерно в 3 раза большим радиуса включения. Поэтому очень мелкие включения со своими малыми зонами возмущения, попавшие в поле крупного, не в состоянии вызвать заметное искажение последнего (рис. 11). В то же время поле крупного включения должно заметно влиять на поле мелкого в зависимости от места его расположения.
Парные взаимодействия

Очень мелкое включение, радиус которого в 50-100 раз меньше, чем у крупного, находящееся в силовом поле крупного включения, будет воспринимать свою окрестность как некоторое однородное поле, отличное от поля матрицы вдали от включений. Помещая мелкое включение в различные участки поля крупного включения, мы будем наблюдать существенное различие картин вокруг мелкого включения. Например, поля средних напряжений и максимальных деформаций вокруг мелких включений, расположенных в точках А, В и С (рис. 11, 12), различаются по форме и интенсивности.
Из рис. 12 видно, что концентрация напряжений у мелкого включения, попавшего в область высоких деформаций, вызванных крупным включением (точка В), усиливается (по σо = 2,5 вместо 1,5; по εmax = 2,8 вместо 1,5). Концентрация напряжений у мелкой частицы, попавшей в ненагруженную область (точка А), получается меньше, чем у одиночной частицы (по σо = 1,16 вместо 1,5; по εmax = 0,9 вместо 1,5). И наконец, в гидростатически однородной области (точка С) мелкое включение вообще не вызывает каких-либо изменений в окружающей среде в связи с несжимаемостью матрицы. Неоднородность структурных напряжений вокруг мелких частиц выражена гораздо сильнее, чем вокруг крупных.
Парные взаимодействия

Из всего сказанного вытекает, что в композитах, наполненных включениями различных размеров, возникает размерная иерархия концентраций, которая становится источником размерной иерархии повреждений структуры. При этом условия возбуждения повреждений мелкими концентраторами зависят от места их расположения по отношению к крупным концентраторам. Можно предполагать, что в деформируемом материале должны возникать участки, преимущественно поврежденные, и участки, менее поврежденные.