Плоские континуальные модели и их исследование

27.08.2015

К настоящему времени в теории композитных материалов оформилось несколько направлений (вариационное, методы регуляризации, статистическое, методы самосогласования), каждое из которых имеет свои преимущества и недостатки, дает хорошие результаты для определенного класса материалов и может оказаться неприемлемым для другого.
В двадцатые годы нашего столетия были предприняты первые попытки связать структуру неоднородных систем с их свойствами. Фойхт и Рейсс предложили формулы для оценки макроскопических модулей упругости па основе правила смеси. Решение Фойхта и Рейсса образует вилку эффективных модулей упругости, ширина которой зависит от различия в модулях составляющих элементов — она пропорциональна квадрату соотношения модулей элементов.
В шестидесятые годы широкое развитие получили вариационные методы, направленные на уточнение оценок эффективных характеристик композитов. В работах Хашина и Штрикмана, основанных на теории поляризации, Хилла, применившего теории об упрочнении, были уточнены границы для верхнего и нижнего значений эффективного модуля. Эти работы показали, что вариационный подход может быть практически полезным только в тех случаях, когда упругие свойства элементов композита достаточно близки друг другу. В системах, которые характеризуются очень резким различием в жесткостях составляющих элементов (именно эти системы являются объектом нашего исследования), вилка становится весьма широкой, что исключает возможность надежной оценки эффективного поведения композита.
Большое количество исследований, посвящено статистическому подходу в изучении связи между структурой и эффективными свойствами. Наиболее полно статистические методы изложены в работах Берана, Кренера и Ломакина. Этот подход также развит в работах Фокина и Шермергора, Хорошуна, Волкова с соавторами, Ставрова и Волкова, Соколкина и Ташкинова, Ванина. Им представляется, что связь структуры с эффективными свойствами выражается посредством корреляционных функций, отображающих геометрическую и физическую гетерогенность композитной системы. Определение этих функций для конкретных материалов требует постановки специальных сложных экспериментов. Некоторые опытные данные можно найти в статьях Ставрова и Фоминой, Ван Фо Фы с соавторами, а также в работе Францевича и Карпиноса. Ряд исследователей свои теоретические построения основывают па априорно выбранных корреляционных функциях.
Применение статистических методов к системам с сильно выраженной механической неоднородностью существенно усложняет структуру корреляционных функций из-за частой и значительной пульсации микронапряжений и микродеформаций. Это сдерживает применение статистических методов в работе с материалами рассматриваемого нами типа.
Известное распространение получил метод самосогласования. Сущность его в том, что композит представляют некоторой шаровой частицей, помещенной в однородную среду, обладающую эффективными свойствами композита. Задача заключается в поиске таких эффективных характеристик среды, которые совпадают с эффективными свойствами ячейки периодичности. Результаты, полученные при работе по этому методу, соответствуют результатам Эшелби для рассеянных шаровых частиц в изотропной матрице. Вавакиным и Салгаником предложен подход, обобщающий данные на случай полидисперсных структур в предположении, что включения разных размеров не взаимодействуют друг с другом. Указанный метод результативен для случая малоконцентрированных гетерогенных сред и среды, свойства элементов которой различаются несущественно.
Метод регуляризации предполагает правильно построенные системы. Он позволяет получать точные распределения напряжений и деформаций внутри композита, которые используются для получения эффективных упругих модулей. Существует два метода решения задач с регулярной структурой. Один из них состоит в применении двоякопериодических функций, а другой — в использовании симметрии для сведения задач к краевой задаче теории упругости для конечной области. Baн Фо Фы указал точные и приближенные выражения для модулей сдвига, а также для других эффективных модулей.
При помощи соображений симметрии задача о композите с регулярной укладкой волокон сводится к задаче о четырехгранной или шестигранной призме, содержащей одно волокно, а затем задача о призме решается каким-либо численным методом. Бахвалов предложил метод осреднения дифференциальных уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами, который был применен к задачам линейной теории упругости и вязкоупругости регулярных структурно-неоднородных сред в работах Победри и его сотрудников. Метод основан на асимптотическом разложении решения по малому параметру, равному отношению размера ячейки периодичности к характерному размеру тела, и использует идею периодичности искомых функций.
Нa регулярных моделях можно получить удовлетворительные результаты по определению механических свойств композита, тем не менее в ряде случаев указанная модель может оказаться неприемлемой. Это связано с тем, что регулярная модель недостаточно точно отражает реальную случайную микроструктуру композита.
Приведенный выше анализ возможностей различных теоретических методов, устанавливающих связь структуры с эффективными свойствами, показывает, что для материалов исследуемого нами типа (зернистых высоконаполненных композитов с резко выраженной механической гетерогенностью) наиболее подходящими нам представляются аналитические подходы, применяемые при исследовании регулярных структур, в частности теория функций комплексного переменного, получившая широкое развитие в работах Григолюка и Фильштинского. Теоретическое исследование задачи, когда пластинка ослаблена одним или несколькими рядами отверстий, проведено Михлиным, Савиным, Шерманом. Много сделано Космодамианским и его учениками при решении задач о напряженном состоянии пластины, содержащей круговые отверстия, заполненные упругими ядрами или подкрепленные упругими кольцами. Структурные особенности реальных высоконаполненных эластомерных композитов характеризуются рядом факторов, которые требуют учета при изучении зависимости эффективных свойств от структуры и которые до настоящего времени не были предметом специального исследования: распределение включений по размерам; существование вокруг них поверхностных слоев с измененными по сравнению с матрицей свойствами; нерегулярный характер распределения включений в матрице и т.д. Чтобы учесть эти факторы, требуется дальнейшее развитие аналитического метода, позволяющего получать точные значения структурных напряжений и деформаций в области концентраторов напряжений.