Итерационный метод решения плоских задач

27.08.2015

Вычисления осуществляются по следующему алгоритму. Нa каждом шаге итерации точно удовлетворяются граничные условия на поверхности одного включения с незначительным изменением напряженно-деформированого состояния у поверхности остальных. Эта операция повторяется последовательно для всех включений до получения с нужной точностью искомого решения. Сведение решения бесконечной системы линейных уравнений к решению на каждом шаге систем 4-го порядка значительно экономит память и повышает скорость счета.
Для каждой из рассматриваемых систем (14) нам требуется определить четыре неизвестных: A-n0*m, A(n+2)*m1, Bn1*m, B(-n-2)1*m. Рассмотрим, как вычисляются эти коэффициенты.
В ряде Лорана (11) для возмущений от включений естественно считать равными нулю коэффициенты A(n+2)0*m, Bn0*m, поскольку возмущения должны исчезать при удалении от включения.
Запишем возмущения l-го включения в системе координат, связанной с центром m-го включения. Переход для функции φ0m, ψ0m осуществляется с помощью связей
Итерационный метод решения плоских задач

Выражение (15) следует из разложения связи
Итерационный метод решения плоских задач

в ряд Тейлора по степеням zm. В итоге после проведения всех преобразований в системе уравнений (14) коэффициенты An0m, Вn0m для m-го включения выражаются через однородное поле и возмущения всех других включений следующим образом:
Итерационный метод решения плоских задач

Итерационный метод решения плоских задач

Итерационный алгоритм строим по следующей схеме.
1. Полагаем все возмущения от включений равными нулю:
Итерационный метод решения плоских задач

2. Находим возмущения от первого включения, решая систему (14) при положительных коэффициентах, определенных по формулам (17).
3. Находим возмущения от второго включения в формулах (17), используя найденные коэффициенты A-n1, B-n1 для возмущения 1-го включения.
4. Находим возмущения от 3-го включения и т. д.
5. После первого обхода всех включений совершаем второй обход, третий и т. д. Процесс продолжается до момента, когда новый обход по включениям практически не будет приводить к изменению насчитанных коэффициентов.
6. Заключительным шагом процедуры является проверка точности решения непосредственным вычислением граничных условий. Невязка их удовлетворения характеризует точность найденного решения.
Ключевым моментом в итерационном процессе является переход возмущений в систему координат, связанную с m-м включением. В общих чертах этот переход описан выше. Конкретные детали преобразований рассмотрим на примере решения задачи с двумя включениями.
Через функцию φ(z) и ψ(z) перемещения в матрице выражаются в следующем виде:
Итерационный метод решения плоских задач

Итерационный метод решения плоских задач

Равенство (14) нужно записать в координатах z1 или z2 в соответствии с тем, какое из включений рассматривается. Так как а2 + z2 = a1 + z1, то z2 = z1 - (а2 - a1) . Перепишем (14) в координатах z1:
Итерационный метод решения плоских задач
Итерационный метод решения плоских задач