Решение плоских задачи методом теории функций комплексного переменного

27.08.2015

Напряженное состояние в матрице с включениями находится в виде суммы напряжений однородного поля и возмущений от каждого из включений:
Решение плоских задачи методом теории функций комплексного переменного

где N — число включений. Возможность представления искомого решения в таком виде следует из фундаментального свойства линейных задач: сумма частных решений уравнений равновесия является тоже их решением. Искомые перемещения и напряжения каждого из слагаемых целесообразно выразить через соответствующие каждому из них аналитические функции φi, φip, ψi, ψip. Возмущения около i-го включения в связующем имеют вид
Решение плоских задачи методом теории функций комплексного переменного

Перемещения и напряжения внутри i-го включения определяются формулами
Решение плоских задачи методом теории функций комплексного переменного

где μ1 — модуль сдвига материала включения; μ — модуль сдвига матрицы; штрих у выражений φi, φi1, ψi, ψi1 указывает на операцию дифференцирования этих функций по комплексному числу zi; черта над комплексными числами используется для обозначения сопряженных величин. В выписанных выше формулах самостоятельно используемый символ i обозначает мнимую единицу; сочетание индексов i1 говорит о принадлежности соответствующей величины к характеристикам состояния материала i-й частицы наполнителя; нижние индексы х, у, r, v использованы для конкретизации компонент перемещений или тензоров напряжений, записанных в Декартовых (индексы х и у) или полярных (индексы р и v) координатах xi, yi, ri, vi i-й системы координат, центр которой совпадает с центром i-го включения.