Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью граничных интегральных уравнений

27.08.2015

Возможно представление возмущений ui не только в виде рядов по некоторым функциям, но и непосредственно через интегралы по поверхностям Si рассматриваемых включений. В частности, с помощью метода граничных интегральных уравнений возмущения ui в объемной задаче представляются равенствами
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью граничных интегральных уравнений
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью граничных интегральных уравнений

где Θ — оператор внешнего умножения тензоров; rs* — радиус-вектор точки, лежащей на элементе поверхности dSi.
В условиях плоской деформации возмущения ui имеют вид
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью граничных интегральных уравнений

Для оценки эффективности использования итерационного алгоритма в методе ГИУ была решена двухмерная задача (плоская деформация) о нагружении фрагмента регулярной тетрагональной решетки из одинаковых эллиптических полых включений, помещенных в бесконечную упругую матрицу, которая находится под действием растягивающих напряжений, приложенных на бесконечности. Общее число полостей равнялось N. Граница каждого i-го включения Li разбивалась на P граничных элементов, а граница области — на С элементов. Число итераций равнялось К. Нa рис. 3 приведена расчетная схема ситуации для случая N = 49. Граница каждого эллипса разбивалась на P = 40 элементов, общая граница области (удаленная от ансамбля на расстояние порядка 500 характерных размеров включений) на С = 4 части. Для получения решения требовалось К = 10 итераций.
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью граничных интегральных уравнений

Время получения решения (при кусочно-постоянной аппроксимации поверхностных усилий и перемещений на элементах) должно было быть пропорционально произведению КN(P + С)3. Время решения задачи ”в лоб” без использования итерационного алгоритма пропорционально (NP + С)3. Для нашего случая теоретический выигрыш во времени должен был составить 181 раз. В реальности же эта величина оказалась равной 51 разу, так как формула для оценки эффективности не учитывала время пересчета вектора правой части, производящегося на каждой итерации. Кроме того, применение нашего подхода позволило задействовать в N2 раз меньше компьютерной памяти.
Полученные в результате счета распределения полей интенсивностных (а) и гидростатических (б) напряжений в выделенной на рис. 3 области показаны на рис. 4. Полагалось, что на бесконечности приложены единичные растягивающие напряжения вдоль оси ординат. Модуль Юнга матрицы равнялся единице, а коэффициент Пуассона — 0,495. Геометрические характеристики ансамбля имели следующие значения: h = а, b = 0,2а.
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью граничных интегральных уравнений