Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

27.08.2015

Примером математической записи выражений ui(n) может быть представление Папковича—Нейбера перемещений через гармонические потенциалы ψi0, ψi1, ψi2, ψi3, в котором вектор ui имеет вид
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

где e1, e2, e3 — базисные векторы прямоугольной Декартовой системы координат; μ — модуль сдвига; v — коэффициент Пуассона; r — радиус-вектор точек связующего; ri — радиус-вектор точки, лежащей внутри i-го включения. Скалярные функции (потенциалы) ψi0, ψi1, ψi2, ψi3 должны удовлетворять уравнениям
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

Примером таких потенциалов могут служить ряды по степеням расстояния |r—ri| и шаровым функциям:
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

где Ajkim, Bjkim — неопределенные коэффициенты; Рjk(...) — присоединенные функции Лежандра; рi, αi, φi — сферические координаты с началом отсчета в точке ri. Сферическая система координат, связанная с i-м включением, определяется выражениями
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

Проиллюстрируем этот подход на задаче с двумя сферическими включениями (рис. 1). Пусть на бесконечности приложено единичное растягивающее напряжение, действующее вдоль линии центров этих включений. Нa границе требуется удовлетворить условиям полного прилипания. Модуль Юнга включений в 10000 раз выше модуля матрицы (включения практически не деформируются при нагружении). Коэффициент Пуассона возьмем равным 0,5 для матрицы и для частиц наполнителя. Пусть одна из сфер имеет радиус R1 = 1, а вторая R2 = 0,5. Зазор между ними равен h = 0, 25 R1. Мы имеем осесимметричную задачу.
Напряженно-деформированное состояние в матрице и частицах наполнителя в системах координат, соответствующих этим включениям, можно представить в виде линейной комбинации частных решений:
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

Здесь n = 0, 1, 2,3,...; μ, v — соответственно модуль сдвига и коэффициент Пуассона рассматриваемой среды; Pn = Pn(cos 0i) — полиномы Лежандра от аргумента cos 0i;
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

При этом внутри включения разложение поля перемещений осуществляется только по решениям (5), (6), так как перемещения не могут принимать бесконечные значения.
Поверхностные усилия на границе включений характеризуются компонентами напряжений, имеющими (в соответствии с равенствами (5)-(8)) разложение по следующим частным решениям:
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

B матрице напряженно-деформированное состояние можно представить в виде однородного поля нагружения и ’’возмущения” от каждого из включений, которые в соответствующих системах координат определяются в виде разложения по решениям (7), (8):
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

где u — перемещения точек матрицы; u∞ — перемещения, соответствующие однородному полю нагружения; ui — возмущения от i-го включения (i = 1,2); Ai-n-1, Ci-n-1 — неизвестные коэффициенты.
У поверхности первого включения перемещения в матрице представляются (равенство (9) в координатах r1 и θ1) рядом
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

Учитывая свойство ортогональности полиномов Лежандра, легко выписать систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов в разложениях напряженно-деформированного состояния по решениям (5)-(8). Это осуществляется приравниванием выражений на границе матрица — включение.
При решении задач итерационным методом осуществляем следующее: 1) для значений коэффициентов A2-n-1 и C2-n-1 (n ≥ 0), взятых с предыдущего шага, определяем из граничных условий первого включения коэффициенты А1-n-1 и C1-n-1 (n ≥ 0), а также коэффициенты в разложениях напряженно-деформированного состояния первого включения по решениям (5)-(6); 2) по найденным значениям коэффициентов A1-n-1 и C1-n-1 (n ≥ 0) определяем из граничных условий второго включения коэффициенты A2-n-1 и C2-n-1 (n ≥ 0), а также коэффициенты в разложениях напряженно-деформированного состояния второго включения по решениям (5), (6). Полагаем, что на первом шаге коэффициенты A2-n-1 и 2-n-1 (n ≥ 0) равны нулю.
Пример решения задачи о нагружении двух сферических включений показан на рис. 2. Для получения результата с точностью до 0,001 (точность удовлетворения граничных условий на поверхностях включений) совершалось 20 итераций. Разложение гармонических потенциалов осуществлялось по 25 сферическим функциям. Время счета задачи на персональном компьютере IBM 486/DX2-66 составляло 4 с (без построения изолиний).
Использование итерационного алгоритма при решении задач с помощью представления Папковича-Нейбера

Время нахождения решения пропорционально произведению 128МР (кроме того требуется еще некоторое время на пересчет правых частей системы уравнений, пропорциональное 4P2). Числом M обозначено выполненное число итераций; P — количество сферических функций в разложении гармонических потенциалов. В данной задаче получается очень удобная для вычислений ленточная матрица с шириной ленты, равной 6. Ничего подобного не происходит при решении задачи без использования итерационного алгоритма. При прямой реализации вычислений необходимо решить систему линейных уравнений с полностью заполненной матрицей размером 8P*8P. Нa это затрачивается машинное время, пропорциональное произведению 512P3 (при условии, что задачу удается решать без обменов).
Важное преимущество данного метода заключается в том, что при решении задачи со сферическими включениями не требуется хранить в машинной памяти большой массив коэффициентов матрицы системы линейных уравнений (все величины вычисляются по известным формулам в момент, когда они нужны для осуществления вычислений). Однако метод становится расходящимся при приближении частиц наполнителя друг к другу. Можно достаточно эффективно получить решение для значения зазора h = 0,1R1. Однако для меньших величии зазора или алгоритм становится расходящимся, пли требуется совершение большого числа итераций и использование большого числа членов гармонических рядов (алгоритм становится неэффективным).