Область применения итерационного алгоритма

27.08.2015

Основная идея построения итерационного алгоритма впервые высказана Смолуховским в 1911 г. и развита Факсеном в 1925 г. Известна она в литературе под названием ’’метода отражения”. Областью применения алгоритма первоначально были задачи исследования медленного движения вязкой жидкости, содержащей N сферических жестких частиц, под действием внешних сил (в частности силы тяжести). Частицы считались находящимися достаточно близко друг от друга, так что имело место их гидродинамическое взаимодействие. Предполагалось также, что частицы достаточно удалены от ограничивающих жидкость стенок, так что окружающую их жидкость можно рассматривать как безграничную. Основное внимание сосредоточивалось преимущественно на ситуациях, когда жидкость покоилась на бесконечности. Решение получали аналитически с помощью сферических функций, что было, в виду отсутствия вычислительной техники, весьма трудоемкой задачей. В результате метод не получил должного распространения и о нем практически забыли.
В задачах теории упругости модифицированный вариант метода стал использоваться значительно позже (в начале 80-х годов). И хотя с момента появления итерационного алгоритма до наших дней прошло много десятилетий, все еще нет строгого доказательства сходимости итерационного процесса к искомому решению. Более того, установлено, что в ситуациях очень близкого расположения частиц друг от друга итерационный алгоритм становится расходящимся.
Бурное развитие вычислительных математических аппаратов для решения упругих задач (использование комплексных переменных в задачах теории упругости, граничных интегральных уравнений и т. д.) позволило применять идею итерационного алгоритма с новыми математическими аппаратами. Некоторые из них рассматриваются в этой главе. Реализация главной идеи алгоритма не зависит от вида записи полей напряжений. Важно только, чтобы можно было отдельно учитывать вклад от каждого элемента упругой системы. Остановимся на этом более подробно.
Итерационный метод предназначен для решения задач в области малых деформаций. Пусть бесконечная упругая матрица (образованная Гуковым материалом) содержит конечное число полостей, абсолютно твердых включений и упругих частиц наполнителя (прочно приклеенных к связующему пли способных отслаиваться от него). Нa удалении от ансамбля приложено однородное поле нагружения.
Используем для вычислений любой математический аппарат, позволяющий в явном виде записывать однородное поле нагружения и возмущения от каждого из включений и полостей (автоматически удовлетворяющие уравнениям равновесия). Это может быть метод граничных интегральных уравнений, теория функций комплексного переменного в двумерных задачах теории упругости, методы потенциалов и т.п. Все они характеризуются следующим. Тензор напряжений T в любой точке связующего представляет собой сумму тензоров однородного поля T∞ и возмущений Ti от каждого объекта в ансамбле (полости или частицы наполнителя):
Область применения итерационного алгоритма

причем каждое из слагаемых T∞ и Тi удовлетворяет уравнению равновесия материала:
Область применения итерационного алгоритма

где N — общее число объектов в ансамбле; V — оператор градиента места; точкой между символами обозначена операция свертки тензоров. В виде суммы представляются также векторы перемещений:
Область применения итерационного алгоритма

Здесь символами обозначены: u — вектор перемещений в рассматриваемой точке матрицы; u∞ — перемещения, соответствующие однородному полю напряжений; ui — перемещения, соответствующие i-му возмущению.
Между векторами перемещений и тензорами напряжений существует связь:
Область применения итерационного алгоритма

в которой оператор L(...) определен выражением
Область применения итерационного алгоритма

где λ, μ — коэффициенты Ляме бесконечного связующего (матрицы); E — единичный тензор; верхним индексом T отмечена операция транспонирования тензора. Кроме того, возмущения удовлетворяют следующему условию: они быстро убывают при удалении от поверхности объекта (поры или частицы наполнителя), вызывающего их. Это известно из многочисленных аналитических решений задач структурной механики композитов.
Можно ожидать сходимость следующего итерационного процесса. Нa каждом шаге находим возмущение от i-го объекта путем точного удовлетворения граничных условий на его поверхности. При этом полагаем, что возмущения от других объектов уже известны. Вновь вычисленные значения i-го возмущения безусловно изменят ситуацию на других границах, но на меньшую величину по сравнению с i-й поверхностью (за счет быстрого убывания возмущения при удалении от рассматриваемого объекта). Повторяем эту операцию последовательно, обходя по очереди все поры и частицы наполнителя рассматриваемого ансамбля до тех пор, пока вновь вычисляемые возмущения не будут совпадать с найденными на предыдущем обходе. Полученное таким образом решение и является искомым.