Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

27.08.2015

Очевидно, что CMMK в той постановке, которая была приведена выше, не в состоянии достаточно адекватно описать объемную несжимаемость композитных систем с жестким наполнителем и эластомерной матрицей, если в нее не заложить каких-то дополнительных условий и ограничений на этот счет. Известно, что коэффициент Пуассона для регулярных стержневых структур с шарнирным закреплением узлов равен точно 0,25 (для гексагональной решетки). Модельные расчеты, проведенные для наших неупорядоченных систем со случайным расположением узлов и различными жесткостями структурных элементов, показали, что эффективный коэффициент Пуассона для них колеблется от 0,25 (φ — 40%) до 0,26 (φ = 60%), т. е. не сильно отличается от регулярного случая.
В первом приближении можно, конечно, сразу принять, что эффективный коэффициент Пуассона композитной системы, состоящей только из несжимаемых компонент, равен 0,5 и этим удовлетвориться. Поскольку конструкторов и технологов интересуют в первую очередь эффективные модули материалов, то такой подход в принципе правомерен. Описанная выше структурно-механическая модель позволяет с приемлемой для инженерных расчетов точностью предсказывать эффективный модуль композита и его прочностное поведение и без учета несжимаемости системы, однако дальнейшее развитие данного подхода и стремление к более точному и правильному описанию происходящих в структуре столь неоднородных материалов явлений и процессов требует все же как-то учитывать этот эффект. Тем более, что ввод несжимаемости в модель может помочь выявить какие-то новые, не свойственные сжимаемым гетерогенным системам структурные механизмы, в той или иной мере сказывающиеся на макросвойствах композита.
При нашем подходе наиболее естественный способ моделирования несжимаемости композитной системы состоит в том, чтобы задать на границах исследуемого мезоэлемента такие граничные условия, которые способствовали бы автоматическому сохранению неизменности его объема под действием приложенной внешней нагрузки.
Условие несжимаемости для произвольного элементарного объема в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами lx, ly, lz можно записать в виде
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

где Δlx, Δly, Δlz — абсолютные удлинения соответствующих сторон мезоэлемеита.
Оставаясь в рамках теории малых упругих деформаций, т. е. отбрасывая в (31) члены второго порядка малости и выше, а также учитывая, что относительные удлинения (деформации) сторон параллелепипеда определяются как εx = Δlx/lx, εy = Δly/ly и εz = Δlz/lz, условие несжимаемости мезоэлемента можно преобразовать к виду
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

В трехмерном случае при нагружении макроизотропного тела вдоль оси у (т. е. если задано εy) из (32) следует, что
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

В случае, когда тело находится в условиях обобщенной плоской деформации (εя = const) и растягивается вдоль оси у,
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

В частности, если εz = 0, то можно записать
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

В отображающей реальную композитную структуру стержневой системе выделим некоторый представительный мезоэлемент в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами lx, ly и lz, ограниченными координатными плоскостями x1 = const, х2 = const, y1 = const, y2 = const, z1 = const, z2 = const.
Если одну грань данной системы у2 = const закрепить неподвижно, а противоположную ей сторону (у1 = const) сместить вниз на величину uy = Δly, то в структуре возникнет макрооднородное поле растягивающих деформаций εy = Δly/ly. Чтобы при этом объем мезоэлемента не изменился, стороны lx и lz должны в соответствии с (33) уменьшиться на величины Δlx и Δlz.
Так как в общем случае мы имеем дело со случайными структурами, то для достаточно надежного задания граничных условий (в перемещениях) у поверхности элемента следует выделить определенные области в виде слоев с толщиной порядка одного-двух характерных размеров СЭ и считать все попавшие туда узлы стержневой системы граничными.
Для i-го узла с координатами xi, yi, zi, попавшего в один из слоев δy (лежащих около плоскостей y1 = const или у2 = const), в качестве граничного условия задавалось перемещение вдоль оси y, пропорциональное его удаленности от верхней неподвижной грани мезоэлемента
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

В случае, если i-й граничный узел оказался в одном из боковых слоев δx (лежащих около плоскостей x1 = const или x2 = const) или δz (около z1 = const или z2 = const), ему навязывались перемещения вдоль осей x или z по формулам (37) или (38) соответственно:
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

где x0 = (х2 + х2)/2, я0 = (z1 + я2)/2 — координаты оси симметрии мезоэлемента, параллельной у. Перемещения граничных элементов по другим направлениям (кроме заданных) считались свободными и определялись из решения краевой конечно-элементной задачи. Если же узел попадал одновременно в два или три слоя, то ему навязывались соответственно две или три заданных компоненты вектора перемещений.
В плоском варианте модели боковых граней остается только две — х1 = const и х2 = const и формула (36) принимает вид
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

При таких граничных условиях в системе будет наблюдаться уже не одноосное, а сложнонапряженное состояние, причем главные оси эффективных тензоров σс и εс будут направлены перпендикулярно граням мезоэлемента. На этих площадках не должно возникать сдвиговых напряжений и деформаций, и эффективный модуль Юнга композита Eс для объемного и двухмерного случаев (плоская деформация) можно определить по формулам (39) и (40) соответственно:
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

Необходимые значения компонент эффективного тензора напряжений σxxc и σzzc определялись по той же методике, что и для σyyc (см. раздел 2.3), только в качестве неподвижной отсчетной плоскости брали сечение, проходящее через параллельную у ось симметрии тела и перпендикулярное координате х или z соответственно.
Нa рис. 22 представлены модельные концентрационные зависимости эффективного модуля Юнга Eс/Em (Em — модуль матрицы) для эластомерных зернистых композитов, рассчитанные с учетом и без учета несжимаемости материала на макроуровне. Как видно па графике, введение несжимаемости влечет за собой определенное завышение значений эффективного модуля, что повышает точность предсказания Ec и способствует лучшему согласованию с опытными данными. Так, построенная для несжимаемой системы концентрационная кривая (1) в диапазоне φ примерно от 30 до 50% проходит практически посередине экспериментальной области, в то время как кривая (2) лежит вблизи ее нижней границы. При более высоких наполнениях расчетные и опытные результаты начинают расходиться. Объяснений тому может быть много, но главная причина, па наш взгляд, заключается в том, что предельно допустимая концентрация дисперсной фазы (φm) в тех моиофракционных системах, па которых были получены опытные результаты, не превышала 60%. В пашем же случае предельная плотность случайной упаковки из одинаковых сферических включений составляла примерно 64%.
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

Отсюда можно сделать вывод, что в тех реальных вязких суспензиях и композитных системах, с которыми имели дело эти экспериментаторы, происходило образование микроагломератов из слипшихся между собой частиц. В результате система становилась плотноупакованной (и соответственно предельно жесткой) при несколько меньших наполнениях. В пользу этого довода свидетельствуют и исследования, показавшие, что в ряде случаев, когда концентрация дисперсной фазы близка к предельной, в структуре могут образовываться не только агломераты, но и хаотично направленные цепочки из контактирующих частиц (как результат проявления определенных физико-химических процессов), как бы армирующие систему, что также приводит к увеличению ее общей жесткости.
Нa следующем графике (рис. 23) приведены те же самые зависимости, только по оси абсцисс отложено не просто наполнение φ, а его отношение к предельной для данного случая концентрации φ/φm достигаемой в плотной упаковке. Расхождение между модельными результатами и опытными данными в этой системе координат существенно меньше, да это и понятно, так как величина φ/φm характеризует, насколько данная структура близка к своему предельно наполненному состоянию или далека от него, т. е. (косвенно) насколько велика в пей доля контактирующих включений.
В случае композитных структур с регулярной гексагональной укладкой частиц наполнителя в матрице (данные зависимости представлены штриховыми линиями на рис. 22 и 23) картина качественно не изменилась. Кривые, рассчитанные с учетом несжимаемости системы, также лежат несколько выше (3), чем те, что были получены исходя из традиционной схемы нагружения (4). В целом же при одних и тех же концентрациях регулярные структуры оказались более жесткими по сравнению с неупорядоченными системами. Особенно сильно этот эффект (для плотных упаковок расхождение в значениях модуля оказалось более чем в 10 раз) проявляется при наполнениях, близких к предельным, что можно объяснить следующим образом.
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

В регулярной плотной упаковке все структурные элементы (состоящие только из касающихся частиц) обладают одинаковой и очень высокой жесткостью, близкой к значениям, характерным для материала наполнителя. При макронагружении таких однородных по жесткости стержневых структур каждый СЭ вносит примерно равный вклад в формирование реакции упругого сопротивления композита и его эффективный модуль оказывается близким к модулю наполнителя. В неупорядоченных плотных упаковках наблюдается качественно иное распределение зазоров между частицами — в структуре появляется хотя и небольшое, но достаточное для порождения относительно "мягких” микрообластей число структурных элементов, образованных пусть и близкими, но не контактирующими между собой частицами (рис. 9 и 10 из главы 2). Так как жесткость структурного элемента резко падает при увеличении зазора между образующими его включениями (см. рис. 2), то соответствующая случайная система будет гораздо менее однородной по жесткости, чем регулярная. Наибольшие деформации при этом будут приходиться на те немногочисленные матричные прослойки между включениями, которые появляются в разупорядочепной и соответственно менее плотной упаковке (при этом φ падает с 74 до 64%). Такую структуру можно представить в целом как более-менее однородный жесткий каркас, в котором случайным образом появились как бы ”мягкие демпфирующие вставки”, воспринимающие основную деформацию системы. Остальные же СЭ образуют между собой практически не деформируемые конгломераты и перемещаются между этими ’’вставками” как единое жесткое целое. В результате эффективный модуль композита с предельным случайным наполнением станет ниже, чем с идеально регулярным.
Моделирование несжимаемости в композитном материале вызывает определенные изменения в объемном распределении усилий и деформаций в структурных элементах. Это, конечно, должно сказаться на формировании сил сопротивления внешней нагрузке и в конечном счете — на механических макросвойствах системы.
На рис. 24 и 25 представлены результаты модельных исследований распределения усилий в структурных элементах и их проекций на перпендикулярную оси нагружения плоскость, проведенных для монофракционных композитных систем с различной концентрацией частиц. Рассматриваемые ’’образцы” находились под действием макрооднородной растягивающей деформации ε, которая для всех случаев задавалась равной 1%. Представленные результаты были получены на случайных системах, состоящих примерно из 500 сферических включений. Количество структурных элементов при этом варьировалось в зависимости от степени наполнения - от 2200 (φ = 40%) до 2800 (φ = 60%). Для чистоты сравнения каждая конкретная реализация случайной структуры подвергалась обоим вариантам расчета как с учетом, так и без учета условия сохранения неизменного объема мезоэлемента.
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

Нa рис. 24 по оси абсцисс отложены значения усилий Fl в ССЭ, отнесенные к эффективному растягивающему напряжению σ, действующему в дайной конкретной системе, а по оси ординат — вероятности их появления. Сравнение распределений Fl, полученных с учетом и без учета несжимаемости композитного материала, показало, что введение в модель условия сохранения постоянного объема ’’образца” при его деформировании приводит к довольно существенной перестройке структурно-напряженного состояния в структуре. Так, если в ’’сжимаемых” системах большая часть структурных элементов практически не нагружена или слабо нагружена (штриховые кривые нa всех графиках имеют гораздо более ярко выраженные пики вблизи нулевых значений Fl/σ, чем сплошные), то в ’’несжимаемых” системах доля ’’неработающих” СЭ явно меньше. Причем это снижение происходит в основном за счет появления значительного количества сжатых элементов, в то время как участки кривых, описывающие распределения растянутых СЭ, лежат довольно близко друг от друга. Данная тенденция усиливается по мере уменьшения концентрации наполнителя в композитном материале.
Моделирование несжимаемости структуры при определении эффективных упругих свойств наполненных композитов с полимерной матрицей

Непосредственный анализ геометрии структуры модельной стержневой системы и кривых распределений проекций усилий в ССЭ на направление приложения внешней нагрузки (ось у) Fyl и перпендикулярную ей плоскость (XOZ) Fxzl показал, что в обоих случаях сжатыми оказываются, как правило, те ССЭ, оси которых составляют с плоскостью XOZ углы, лежащие в диапазоне ±45°, т. е. формирующие упругое сопротивление Пуассонова поджатия. В ’’сжимаемых” системах таких элементов недостаточно для того, чтобы vc = 0, 5, а в ’’несжимаемых” за счет соответствующих граничных условий их число подтягивается до требуемого уровня.
Нa рис. 25 показаны распределения проекций усилий в ССЭ Fxzl на плоскость XOZ (перпендикулярную оси растяжения) в монодисперсном зернистом композите с учетом несжимаемости системы и без него. Распределения, соответствующие ’’несжимаемому” случаю, носят довольно выраженный бимодальный характер, причем ’’провал” между пиками лежит вблизи нулевых значений Fxzl, что также свидетельствует в пользу уже высказанного утверждения о дополнительном сжимающем нагружении ранее ’’свободных” (в ’’сжимаемом” варианте) структурных элементов, оси которых достаточно сильно наклонены к направлению растягивающей макронагрузки.