Структурное моделирование механических свойств наполненных зернистых эластомеров с учетом перестройки их микроструктуры при больших деформациях

26.08.2015

Хорошо известно, что для некоторых наполненных зернистых композитов кривые σ—ε могут иметь на начальной стадии нагружения (до того как в теле начнут возникать первичные локальные микроповреждения) определенный загиб вверх в сторону увеличения значений эффективного текущего модуля. Причину этого явления можно объяснить влиянием двух факторов: нелинейными упругими свойствами материала связующего; перестройкой микроструктуры материала, когда частицы наполнителя в процессе вытяжки изменяют свое взаимное положение, ориентируясь вдоль оси нагружения.
В данном исследовании сделана попытка смоделировать в чистом виде второй (’’перестроечный”) механизм возрастания модуля композита при конечных деформациях, абстрагируясь пока от нелинейных упругих свойств матрицы. Проблема состояла в том, чтобы определить, во сколько же раз может быть увеличена жесткость композитной системы только за счет анизотропной перестройки ее микроструктуры при одноосном растяжении ’’образца”. Для решения этой задачи была использована структурно-механическая модель композита, уже применявшаяся ранее для описания механического и прочностного поведения наполненных зернистых эластомеров в рамках теории малых деформаций.
Из особенностей модели следует, что наиболее простой и естественный путь ее модернизации для описания эффективных свойств композита при упругих конечных деформациях лежит в использовании так называемого дельта-метода. Суть его состоит в том, что внешняя нагрузка прикладывается к телу не вся сразу, а по частям, небольшими порциями так, чтобы на каждом шаге систему можно было считать линейной и использовать аппарат теории малых деформаций. Применительно к нашему случаю это выглядело следующим образом.
В соответствии с методом физической дискретизации (точно так же, как и для случая малых деформаций) строилась конечно-элементная стержневая система, имеющая форму куба со стороной L0, содержащая P частиц и Nl структурных элементов. На входе в цикл последовательного нагружения задавалось достаточно малое постоянное приращение деформации Δε (относительно начальной длины L0), по которому вычислялось соответствующее пошаговое приращение перемещений ΔU, прикладываемое к нижней грани ’’образца” (верхняя неподвижна)
Структурное моделирование механических  свойств наполненных зернистых эластомеров с учетом перестройки их микроструктуры при больших деформациях

Нa каждом i-м шаге цикла последовательного нагружения производились следующие операции.
Сначала определялись новые положения центров частиц, для чего к их координатам прибавлялись соответствующие компоненты вектора узловых перемещений, вычисленных на предыдущем шаге (при i = 1 добавлялся нулевой вектор перемещений). Далее производились поиск и ликвидация появившихся при этом пересечений между включениями, для чего применялся следующий алгоритм.
1. Все частицы упорядочивались по мере их удаленности от неподвижной верхней грани.
2. Затем каждое включение последовательно сравнивалось со всеми лежащими ниже частицами на предмет взаимного пересечения и при обнаружении такового частица с большим порядковым номером сдвигалась вдоль межцентровой линии до полной ликвидации пересечения. Такие циклы повторялись до тех пор, пока все пересечения не исчезнут, после чего считалось, что новая конфигурация структуры установилась.
Нa рис. 19 приведен пример работы данного алгоритма для плоской регулярной структуры из 25 одинаковых дисков (наполнение 90%), которую за 20 шагов растянули на 200%. Нa нем хорошо видно, что от изначальной периодичности решетки мало что осталось.
Структурное моделирование механических  свойств наполненных зернистых эластомеров с учетом перестройки их микроструктуры при больших деформациях

После того, как новые положения частиц определены, к нижней грани ’’образца” снова прикладывалось приращение перемещений ΔU и решалась новая линейно-упругая краевая задача для изменившейся конфигурации структуры. При этом ранее приложенная к системе нагрузка не учитывалась. Из решения задачи находились перемещения всех узлов системы, соответствующие i-му шагу, а по ним уже определялись соответствующие деформации и усилия в каждом из структурных элементов. Далее, согласно описанному для линейного случая алгоритму, вычислялись осредненные по объему пошаговые приращения деформаций Δεi и условных напряжений Δti (т. е. рассчитываемых па единицу площади недеформированного объема), которые для несжимаемых тел связаны с истинными напряжениями σi (отнесенными на единицу площади деформированного объема тела) выражением (28).
Полные условные и истинные напряжения и деформации для i-го шага рассчитывались по формулам (27), (28) и (29) и запоминались, а эффективный текущий модуль Юнга определялся по формуле (30):
Структурное моделирование механических  свойств наполненных зернистых эластомеров с учетом перестройки их микроструктуры при больших деформациях

где Li — длина ’’образца” на i-м шаге, соответствующая новой конфигурации структуры. После этого осуществлялся переход к следующему шагу цикла нагружения.
При отладке алгоритма был опробован и другой способ вычисления макронапряжений, когда для каждого структурного элемента накапливались и запоминались возникающие в нем при нагружении стержневые усилия или их проекции на ось растяжения. Поэтому для i-го нагружения вычислялись сразу σi, а не Δσi, как было описано выше. Результаты оказались абсолютно идентичны, но для дальнейших расчетов был выбран первый вариант ввиду меньшего объема информации, которую необходимо хранить в памяти ЭВМ.
При переходе к конечным деформациям в расчетную схему нагружения пришлось внести ряд изменений, что было связано с необходимостью сохранить ее устойчивость при столь значительных перестройках геометрии деформируемой системы.
Во-первых, на каждом шаге приходилось контролировать количество узлов, попадающих в приграничные зоны ’’образца” δy — Nb1. Если Nb1 оказывалось меньше, чем Nb1 (вычисленное на первом шаге), то величине Sy задавалось некоторое приращение, пропорциональное удлинению всей системы, и снова производился поиск граничных узлов. Если их число опять оказывалось меньше, чем надо, то цикл повторялся. Опыт показал, что отказ от данной процедуры неизбежно приводил к ситуации, когда растягиваемый ’’образец” как бы выскальзывал из верхней неподвижной граничной зоны (кстати, такое весьма часто наблюдается и па практике при испытании реальных образцов, если зажимы недостаточно прочно удерживают материал).
Во-вторых, всем попавшим в граничный слой частицам запрещались боковые смещения в плоскости, перпендикулярной оси растяжения. Это делалось для того, чтобы избежать перекосов структуры вблизи границ и ее скольжения как жесткого целого в этих направлениях.
Структурное моделирование механических  свойств наполненных зернистых эластомеров с учетом перестройки их микроструктуры при больших деформациях

На рис. 20 и 21 приведены кривые растяжения σ—ε и зависимости истинного эффективного модуля Юнга Ec (т. е. рассчитанного на единицу площади деформированного объема композита) от макродеформации ε для объемных монофракционных систем, имеющих концентрацию φ 40, 50 и 60%. Из графиков видно, что при условии линейных жесткостных характеристик структурных элементов модуль композитного образца при растяжении может увеличиться примерно в 3 раза. Этот рост происходит целиком за счет ориентации СЭ вдоль оси нагружения и практически не зависит от степени наполнения. Наблюдающееся же в опытах более сильное возрастание модуля объясняется уже нелинейными упругими свойствами материала связующего. Поэтому дальнейшее развитие CMMK предполагает ввод в нее нелинейных жесткостных соотношений на уровне СЭ, для чего уже требуется знать, как зависит жесткость каждого конкретного структурного элемента от его удлинения, а не только от размеров образующих его частиц и расстояния между ними. Такую информацию можно получить из решения нелинейной упругой задачи о двух жестких сферах в эластомерной матрице. Работа в данном направлении ведется в настоящее время. Представленные же результаты дают нижнюю возможную границу изменения модуля наполненного зернистого композита только за счет перестройки и ориентации структуры.
Структурное моделирование механических  свойств наполненных зернистых эластомеров с учетом перестройки их микроструктуры при больших деформациях

Интересно отметить, что приближенная теоретическая оценка роста модуля за счет только ориентационных процессов, сделанная на основании предположения о том, что все структурные элементы равномерно ориентированы в пространстве и могут быть нагружены только растягивающими усилиями при макрорастяжении, предсказала лишь двукратное возрастание жесткости системы. Нa самом же деле почти половина всех СЭ является в этом случае сжатыми. Это обстоятельство и объясняет получившееся расхождение. Естественно, что за счет разгрузки поворачивающихся в направлении приложенного извне усилия изначально сжатых СЭ он может возрасти и на более значительную величину.