Распределения зазоров между частицами

26.08.2015

Структурный подход к исследованию механических свойств наполненных композиционных материалов предполагает обращение с конечными ансамблями случайно расположенных частиц, отображающих реальную топологию рассматриваемых систем. При этом ограничения на их размеры накладываются как возможностями применяемых методов, так и мощностью вычислительных систем. В реальном композите, содержащем практически бесконечное число включений, встречаются самые разнообразные сочетания в расположении частиц, Учесть все это многообразие в полном объеме, естественно, невозможно. Поэтому необходимо найти (оставаясь в рамках заданного ограниченного размера выборки) такой критерий, который позволил бы отбирать из множества численных реализаций самые типичные и часто встречающиеся комбинации и в дальнейшем работать только с ними.
Логично предположить, что ансамбли с наибольшим количеством информации о структуре (при прочих одинаковых структурных характеристиках) должны обладать и максимальной степенью разупорядоченности, т.е. в них должны присутствовать по возможности все наиболее типичные комбинации частиц, встречающиеся на практике. В качестве количественной меры стохастичности и соответственно критерия отбора весьма удобным оказалось использовать такую статистическую характеристику, как "энтропия распределения зазоров между включениями, или геометрическая энтропия" — H. Идея о том, что информация (неопределенность) как-то связана с энтропией, была высказана еще Сциллардом в 1929 г. В 1948 г. Шеннон показал, что введенное им понятие информационной энтропии является единственно возможной мерой неопределенности какого-либо опыта с различными вариантами исхода и наиболее оптимальным образом удовлетворяет всем необходимым условиям. В 1957 г. Джейнс доказал сходство этой характеристики и термодинамической энтропии, а также сформулировал принцип максимума энтропии, согласно которому наиболее вероятному состоянию какой-либо системы соответствует максимальное значение Н. Использование данного подхода в статистической механике для описания свойств гранулированных материалов с неупорядоченной структурой изложено в работах многих авторов и достаточно общеизвестно.
В нашем случае принцип максимума энтропии можно было бы сформулировать в следующем виде: "Чем больше значение величины H, тем более вероятна данная случайная структура и тем ближе она к реальности”.
Чтобы иметь возможность воспользоваться этой характеристикой на практике, необходимо четко и однозначно определить, что мы будем понимать под термином "соседние включения". Каких-либо универсальных правил не существует, и выбор определяющих "соседство" ограничений зависит в значительной мере от конкретного физического объекта, который должна отображать данная численно синтезируемая случайная структура — упаковку атомов в жидкости, расположение элементов в фильтре, насыпную среду типа песчаной или гравийной смеси, микроструктуру наполненного композита и т. д. В общем, для определения того, можно или нет считать две частицы соседними, необходимо использовать по меньшей мере два параметра: максимально допустимый зазор между поверхностями включений — δmax и минимально допустимое расстояние, на которое может приблизиться к соединяющей их центры линии любая другая "посторонняя" частица — δb.
Исходя из общих физико-механических соображений, основывающихся на знании законов упругого взаимодействия между частицами в композитах с мягкой полимерной матрицей и жестким зернистым наполнителем, соседними можно считать только те включения, расстояние между которыми не превышает их характерного размера (радиуса) (δ ≤ δmax = R) и величина зоны "свободного от постороннего присутствия пространства" в зазоре (δb) находится в пределах от 0 до R. (Условие δb = 0 означает, что отрезок, соединяющий центры соседних частиц, не должен быть пересечен еще какой-либо частицей из ближайшего окружения.) В самом деле, исходя из анализа решения задачи о двух близко расположенных жестких сферах, помещенных в бесконечную упругую матрицу, можно сделать следующие выводы: во-первых, основная энергия упругой деформации накапливается в области зазора, где ее плотность может во много раз превышать среднее значение; во-вторых, ’’возмущающее взаимодействие” между включениями быстро затухает при удалении их друг от друга и на расстоянии порядка одного характерного размера становится практически незаметным.
Распределения зазоров между частицами

Из сравнения обобщенных по нескольким конкретным реализациям (от 5 до 10 счетов на каждую точку) дифференциальных плотностей распределения зазоров в объемных монофракционных структурах при различных степенях наполнения (рис. 9) видно, что в случае менее жестких ограничений на выбор соседних частиц (δb = 0) даже при высоких степенях наполнения в структуре еще можно встретить какое-то количество достаточно больших зазоров (0,5 < δ < R). Вероятность их появления невысока и примерно одинакова для концентраций, превышающих 40% (можно провести некоторую аналогию с "информационным шумом"). Кривые плотности распределения для высоких концентраций характеризуются ярко выраженными пиками, которые при меньших наполнениях становятся все более пологими и сдвигаются вправо вплоть до исчезновения точки локального максимума (для φ < 25%).
Расчет геометрической энтропии H производился следующим образом. Сначала по описанной выше методике синтезировалась случайная структура с заданными фракционным составом и концентрацией. В пей все частицы проверялись на предмет наличия у них ближайших соседей (согласно принятым условиям), и строилась соответствующая гистограмма функции плотности распределения зазоров. Для этого диапазон 0 < δ < δmax делился на m равных частей dδ = δmax/m и подсчитывалась частота попадания δ в каждый из этих интервалов:
Распределения зазоров между частицами

где ni — число попаданий в i-й интервал, n — общее количество зазоров. Сама же энтропия вычислялась по формуле
Распределения зазоров между частицами

Данная характеристика обладает всеми свойствами, присущими энтропиям, вводимым в термодинамике и теории информации. Так, для регулярной решетки (полностью упорядоченная система) величина всех зазоров одинакова, следовательно, Hрег = -1 ln 1 = 0. По мере роста разупорядоченности структуры значение H монотонно возрастает, достигая максимума в случае, когда вероятности попадания в каждый из интервалов (δi-1, δi) станут одинаковыми. Тогда
Распределения зазоров между частицами

Из этих формул вытекает, что H и Hmax зависят от числа интервалов m (т.е. от способа их вычисления), что является довольно существенным недостатком данной схемы. Однако, если в качестве критерия оценки стохастичности структуры использовать не H, а величину, равную ее отношению к Hmax (назовем это отношение нормированной геометрической энтропией — H), то она уже будет инвариантна относительно m. Кроме того, область изменения H лежит в пределах от 0 до 1, что делает ее гораздо более наглядной по сравнению с H. Приведем результаты вычисления нормированной и ненормированной энтропий при различных значениях числа интервалов для двух случайных структур, содержащих по 200 одинаковых шаров, одна из которых представляла собой плотную упаковку (φ = 0,63), а другая разреженную систему (φ = 0,34) (см. таблицу). Выбор ближайших соседей и соответственно определение зазора производились из условия: δmax = R и δb = R (R — радиус частиц). Видно, что колебания H несущественны даже для столь ограниченного размера выборки и ими можно пренебречь, тем более что с ростом числа частиц в ансамбле эти флуктуации должны уменьшаться.
Распределения зазоров между частицами

Интересно отметить, что для структур, полученных на компьютере по методу Монте-Карло, значение H оказалось близким к единице и практически не зависело от степени наполнения. Этого, впрочем, и следовало ожидать, так как данный способ позволяет синтезировать только слабонаполненные системы с абсолютно произвольным расположением частиц. Как упоминалось ранее, максимально достижимая для этого метода концентрация составляет примерно 30% для объемных монофракционных структур и 45% для плоских. Для случайных ансамблей, полученных "методом радиального гравитационного поля" и разреженных до тех же концентраций, расчетные значения H оказались также стремящимися к единице при φ → 0, хотя и лежащими несколько ниже по сравнению с абсолютно случайными. Так, для объемной монофракционной структуры при φ = 0, 30 H = 0, 955, а при φ = 0, 25 H = 0,960. Из этого можно сделать вывод о наличии в них еще каких-то остаточных элементов ближнего порядка.
Для дальнейшей работы из нескольких синтезированных на ЭВМ случайных ансамблей с одинаковыми структурными характеристиками следует выбирать наиболее "случайный", т.е. тот, у которого значение H наибольшее.