Моментные функции распределения

26.08.2015

Большинство статистических методов механики структурно-неоднородных сред предполагают использование случайных моментных функций, отображающих топологическую и физическую неоднородности системы. С помощью набора моментных функций высших порядков можно достаточно точно описать случайные поля свойств практически любой гетерогенной среды. Однако определение вида этих функций для конкретных материалов требует или постановки специальных трудоемких экспериментов, или ввода каких-либо априорных гипотез (нуждающихся еще в достаточном обосновании) о распределении и взаимном расположении элементов структуры. Снижение точности оценок по мере увеличения порядка моментной функции обусловливает потребность в увеличении количества информации, получаемой из эксперимента, либо ввода все более и более сложных теоретических предположений. В результате оба подхода оказываются неэффективными для получения многомерных законов распределения и моментных функций высших порядков. Данная проблема может быть успешно решена, если воспользоваться методами структурного моделирования на ЭВМ. Имея в памяти компьютера информацию о расположении частиц в пространстве, а также об их размерах и форме, можно без особых хлопот строить многоточечные моментные функции любого порядка. Остановимся на этом подробнее.
Пусть λ(х) есть индикаторная функция случайного поля, описывающая геометрию исследуемой двухфазной структуры
Моментные функции распределения

где х — детерминированный радиус-вектор, a Lp — множество точек, принадлежащих дисперсной фазе.
Распределение дискретной случайной величины А задается рядом распределения Р(λ = 1) = Р; Р(λ = 0) = 1 — P или функцией распределения, имеющей ступенчатый вид
Моментные функции распределения

где h(t) — функция Хэвисайда (h(t — t*) = 0 при t ≤ t*; h(t — t*) = 1 при t ≥ t*).
Плотность распределения fλ(t) случайной индикаторной функции λ(х) в данной точке пространства М(х) определяется как производная от функции распределения по t:
Моментные функции распределения

где δ(t) - функция Дирака.
Если рассматривать λ(х) как функцию радиуса-вектора х, то мерой множества ее реализаций будет многоточечный закон совместного распределения Fλ(t1,..., tn) случайных величин А(х) (при фиксированном х) во всех точках пространства, занимаемого данной структурой.
По определению, начальной моментной функцией порядка n (n = 1,2,...) случайного параметра λ(х) является неслучайная функция
Моментные функции распределения

Центральной моментной функцией n-го порядка называется неслучайная функция вида
Моментные функции распределения

где λ0(xi) = λ(х) — [λ(х)], [...] - оператор осреднения.
Моментные функции порядка от 1 до n в пашем случае строились по одной и той же принципиальной схеме. В синтезированной на компьютере случайной структуре проводилось т произвольно ориентированных секущих плоскостей и в каждом k-м сечении (k = 1,..., m) наносилась прямоугольная сетка с равномерным заранее заданным шагом разбиения по сторонам. Значение т выбиралось таким образом, чтобы обеспечить достаточное для уверенного построения функции количество информации о структуре. В каждом узле сетки регистрировались реализации случайной индикаторной функции λ(х) (λi(х) = 1, если i-й узел оказался внутри частицы и λi(х) = 0 в противном случае).
Значения Mλk(1) и Kλk(n) вычисленные для k-го сечения по формулам
Моментные функции распределения

осредненные по всем т срезам, и служили оценками искомых функций Mλ(1) и Кλ(n):
Моментные функции распределения

С помощью данного алгоритма для плотных и разреженных случайных систем (как плоских, так и объемных) были построены моментные функции Kλ(n)(х1,...,xn) до 5-го порядка включительно. Кроме того, для каждой структуры вычислялись также значения Мλk(1)(х) и центральные моменты в точке M(х) Dλ(n)'(х) (n = 2,..., 5)
Моментные функции распределения

Следует отметить, что вычисления производились для различных элементарных комбинаций из n точек: x1,..., xn. Их типичные конфигурации показаны на рис. 6.
Анализ произведенных расчетов показал, что Mλ(1)(х) = Р(х) = φ и постоянно относительно х, а функции Kλ(n)(x1,..., хn) зависят только от расстояний между рассматриваемыми узлами x1,..., хn и инвариантны к их взаимному расположению, т. е. искомую моментную функцию n-го порядка (для данной элементарной комбинации точек) можно представить в виде
Моментные функции распределения

где Kλ(n)(t(n)) = Кλ(n)(r1,..., rs)/Dλ(n) — нормированная корреляционная функция n-го порядка; ri = [хp — хq] — расстояние между точками р и q в данной элементарной конфигурации; t(n) = (q/s)Σsi=1 ri/di — среднее расстояние между точками в долях характерного размера частиц в i-м направлении (в нашем случае di принималось равным радиусу включения); S = C2n — n(n — 1)/2 — число всевозможных расстояний между этими п точками.
Моментные функции распределения

Результаты вычислений для плотных монодисперсных случайных упаковок из жестких сфер (объемная структура) и дисков (плоская структура) приведены на рис. 7 и 8 соответственно. Все показанные на этих графиках корреляционные функции характеризуются "острым" максимумом при значениях t(n), стремящихся к нулю, и быстро убывают при его увеличении так, что их радиусы локальности (или радиусы статистической зависимости значений λ(x1,..,, хn)) можно считать соизмеримыми с характерным размером частиц или меньше его. (Под радиусом локальности корреляционной функции обычно понимают такое значение t(n), при котором Kλ(n)(t(n)) практически перестает зависеть от t(n) и обращается в ноль.) Проведенные исследования также показали, что при переходе от плотнозаполненных систем к разреженным кривые становятся более пологими и сдвигаются в сторону увеличения t(n) а в области t(n)→0 появляется характерная "полочка", что вполне согласуется с известными опытными данными.
Моментные функции распределения

Так как для случайного поля λ(х), описывающего рассматриваемые нами хаотические системы, выполняются условия статистической однородности (во-первых, значения моментных функций зависят только от расстояния между точками регистрации параметра λ и инвариантны к их взаимному расположению, а во-вторых Мλ(1)(х) = φ = const), то, согласно, синтезированные с помощью нашего алгоритма случайные структуры макрооднородны и макроизотропны, т. е. могут быть использованы для построения статистической структурной модели композита типа "тело конечных размеров с бесконечно малыми компонентами” и исследования воздействия явлений, происходящих на уровне структурной неоднородности на эффективные свойства материала.