Метод "радиального гравитационного поля"

26.08.2015

На наш взгляд, оптимальным представляется подход, в основе которого лежит идея Мейсона о возможности генерации плотных случайных упаковок имитацией воздействия на частицы сил радиального гравитационного поля. К основным достоинствам данной схемы синтеза можно отнести то, что она исключает появление любых граничных эффектов (границы просто нет), а алгоритм относительно прост в реализации и не требует чрезмерных затрат компьютерных ресурсов.
В соответствии с общими рекомендациями, был разработан и реализован на ЭВМ алгоритм численного синтеза плотных случайных мопофракционных упаковок из частиц круглой формы (сфер — для трехмерного случая и плоских дисков — для двухмерного), названный методом "радиального гравитационного поля". Его принципиальная схема заключается в следующем.
1. В некоторую сферическую область с центром в начале декартовой системы координат и радиусом Rq с помощью датчика псевдослучайных чисел вбрасывается P — 1 точек — "зародышей" будущих частиц. Еще одна P-я точка помещается в начало координат — это будущая центральная частица (единственный элемент структуры, не изменяющий своего положения при дальнейшем синтезе плотной случайной упаковки).
2. Все вброшенные точки упорядочиваются по номерам по мере возрастания их удаленности от центра области. Точка с нулевыми координатами при этом, естественно, становится первой.
3. Вокруг этих центров описываются одинаковые сферы (диски) достаточно малого радиуса r0, выбираемого таким, чтобы первая же перестройка структуры не вызвала радикального изменения ее конфигурации. Значение r0 можно принять равным половине среднего расстояния между центрами частиц в начальный момент синтеза и вычислить по формуле
Метод "радиального гравитационного поля"

где n — размерность структуры (n = 2 для плоского случая и n = 3 для объемной упаковки), k2 = п, а k3 = 4/3п.
4. Далее каждый i-й шар проверяется на взаимное проникновение с каждым j-м включением, причем г пробегает значения от 1 до (P — 1), a j — от (i + 1) до Р. При обнаружении пересечения шар с большим порядковым номером j отодвигается вдоль линии, соединяющей центры i-й и j-й сфер, в сторону увеличения своего радиуса-вектора до тех пор, пока частицы не станут лишь касающимися друг друга.
5. Затем производится новое упорядочение сфер по номерам согласно процедуре 2, после чего все радиусы частиц r одновременно увеличиваются на некоторую малую величину Δr, и снова выполняется операция 4. Значение Δr должно быть таким, чтобы не допустить заметного изменения конфигурации структуры на каждом шаге синтеза (это чревато нежелательным разрыхлением структуры, и мы не получим требуемой концентрации, соответствующей реальной плотной случайной упаковке). Проведенные исследования показали, что оптимальные приращения радиуса лежат в пределах 5-10% от величины r0.
Процедуру 5 повторяют несколько раз — до тех пор, пока не сформируется структура с практически неизменным взаимным расположением частиц. Для этого обычно требовалось примерно 20-30 итераций.
Опыт показал, что даже при очень малых приращениях Δr не исключена возможность остаточных пересечений между включениями. Для их ликвидации операцию 5 необходимо произвести еще несколько раз (обычно 5-6), но уже при нулевом значении приращения Δr, т. е. производится имитация как бы дополнительной "виброобработки" уже сложившейся случайной упаковки.
Нa этом компьютерный синтез монофракционной плотной случайной упаковки можно считать законченным. Структура хранится в памяти ЭВМ в виде нескольких массивов чисел, представляющих собой координаты и радиусы частиц, и может быть легко использована для дальнейших исследований.
Если судить по литературе, то большинство публикаций посвящено, как правило, компьютерному синтезу монофракционных систем. В то же время большой интерес для исследований представляют случайные структуры, состоящие из двух и более фракций, особенно когда размеры составляющих их частиц различаются не более чем на порядок. При значительных различиях данная проблема теряет свою остроту, так как подобные системы можно рассматривать как комбинацию независимых монофракционных структур, формирование которых столь слабо зависит друг от друга, что начинает действовать так называемый принцип мультипликативности. (Крупные включения можно считать как бы погруженными в некую псевдогомогенную сплошную среду из мелких частиц.)
В изложенный выше алгоритм синтеза монодисперсных плотных упаковок обобщен на случаи полидисперсных систем. Ниже приведена схема компьютерного моделирования двухфракционной объемной случайной упаковки, иллюстрирующая основные идеи синтеза.
1. Сначала строится плотная случайная упаковка из P жестких сфер одинакового радиуса Rм, которая принимается за базовую мелкую фракцию.
2. Кроме того, независимо от первой, синтезируется еще одна плотная случайная упаковка из Q шаров единичного радиуса — будущая крупная фракция. Эта структура масштабным умножением увеличивается до размеров области, занимаемой базовой упаковкой (Q < Р), после чего радиусы будущих крупных частиц уменьшаются до величины Rк — (2/3)Rм, где Rк — требуемое окончательное значение радиуса шаров крупной фракции. Одновременно осуществляются случайные подвижки этих частиц в пределах появившихся вокруг них пустот (чтобы устранить локальную регуляризацию из-за имеющегося в плотной случайной упаковке ближнего порядка).
3. Далее занимаемые структурами области совмещаются между собой. При этом те мелкие частицы, которые оказались внутри крупных или пересеклись с ними, "уничтожаются". В итоге получается двухфракционная случайная структура с зонами разрежения вокруг крупных частиц.
4. Для ликвидации этих зон производится поочередное пошаговое "доращивание" крупных шаров до их окончательных размеров. Схема "доращивания" такая же, как и при синтезе монофракционной структуры, только на каждом шаге цикла, перебирающего крупные частицы, начало координат параллельным переносом совмещается с центром i-го доращиваемого шара (r = 1,..., Q). Его радиусу придается некоторое малое приращение ΔRк = (0,1/0,2)Rм (выбираемое опять таким, чтобы не произошло резких изменений в конфигурации системы), и производится проверка на взаимное проникновение частиц с устранением выявленных пересечений (согласно процедуре 4 из описания алгоритма синтеза монодисперсной случайной упаковки). Затем осуществляется переход к следующей крупной частице и процесс повторяется.
Операцию переноса начала координат в центр очередного "доращиваемого" крупного шара пришлось вводить для того, чтобы с наибольшей точностью имитировать воздействие на частицы радиального гравитационого поля и тем самым свести до минимума возникающие при подвижках крупных включений разрыхляющие эффекты.
Синтез случайных упаковок, содержащих более двух фракций, ведется совершенно аналогично, только при формировании K-й фракции за базовую следует принимать (К — 1) фракционную структуру из более мелких частиц.
Метод "радиального гравитационного поля"

Данный алгоритм (основной) позволяет получать плотные поли-дисперсные упаковки с характеристиками, достаточно близкими к известным опытным данным, причем различия в размерах частиц могут достигать 10 раз. (Больше обычно и не требуется, так как при дальнейшем увеличении разницы начинает "срабатывать" принцип мультипликативности.) Относительным недостатком этой схемы можно считать то, что при генерации структуры требуется значительное количество "лишних" частиц базовой фракции, "уничтожаемых" в ходе выполнения операции 3. Поэтому для случая, когда различие в размерах фракций не слишком велико (примерно до 5-6 раз), разработан другой вариант синтеза, отличающийся от основного следующими особенностями.
Будущие включения крупной фракции не синтезируются отдельно, а случайным образом выбираются среди базовых частиц и "помечаются". Операции 2 и 3 не выполняются, а сразу осуществляется пошаговое поочередное доращивание меченых шаров в соответствии с процедурой 4 основного варианта.
Эти алгоритмы можно при соответствующей незначительной доработке применять для синтезирования случайных структур не только с дискретным, но и с непрерывным распределением размеров частиц, если доращивать каждый из выбранных шаров до заранее заданного именно для него конкретного значения.
Плоские и объемные структуры можно генерировать по одной программе. Отличие между ними лишь в том, что при построении плотной случайной упаковки из плоских дисков одна из координат, описывающих систему, задается тождественно равной нулю. Нa приведен фрагмент бидисперсной плотной случайной упаковки из плоских дисков с трехкратным различием размеров частиц крупной и мелкой фракций.
Описанные алгоритмы позволяют синтезировать не только плотные случайные упаковки, в которых каждая частица обязательно имеет несколько касаний с соседними, но и разреженные структуры. Для этого необходимо произвести ряд дополнительных операций, воспользовавшись следующей схемой.
1. Вычисляется коэффициент, на который надо умножить радиусы частиц, чтобы получить случайную разреженную структуру с требуемой концентрацией φ:
Метод "радиального гравитационного поля"

где n равняется 2 или 3 для плоского и объемного случаев соответственно; φc — исходная концентрация.
2. Далее организуется цикл из N шагов, на каждом из которых осуществляются следующие действия:
во-первых, радиус каждой i-й частицы ri уменьшается на величину
Метод "радиального гравитационного поля"

где N выбирается таким образом, чтобы Δri было достаточно мало по сравнению с исходным размером включения — обычно N задавалось таким, что приращение разрежения на каждом отдельном шаге не превышало 5%;
во-вторых, для устранения эффекта локальной регуляризации всем частицам придаются случайные подвижки в пределах некоторого диапазона Rφ, принимаемого обычно равным половине среднего расстояния между ними, характерного для данного наполнения (для двухфракционпых структур в пределах половины среднего расстояния только между мелкими включениями) Rφ:
Метод "радиального гравитационного поля"

где Vp и Vq — суммарные объемы, занимаемые всеми P — частицами структуры и только Q — включениями крупной фракции соответственно;
в-третьих, производится проверка и устранение взаимных пересечений частиц, которые могли появиться при выполнении предыдущей операции (по описанной ранее стандартной методике).
3. После этого все координаты и радиусы включений умножаются на соответствующий масштабирующий коэффициент, восстанавливающий прежние размеры частиц.
Такой подход к получению разреженных структур из плотных случайных упаковок позволяет до некоторой степени управлять распределением зазоров между соседними частицами за счет варьирования размеров области возможных случайных подвижек Rφ. Понятно, что при Rφ = 0 разреженная структура сохранит тот ближний порядок, который был в исходной плотной случайной упаковке. С ростом Rφ разупорядоченность структуры будет расти так же, как и число контактов между включениями, поскольку увеличивается вероятность взаимного пересечения частиц при случайных подвижках в распределении зазоров между частицами.