Простейшие структурные модели композитов и их возможности

26.08.2015

Представлялось разумным поиск структурной модели начать с некоторого базового построения, учитывающего в первую очередь появление и развитие структурной поврежденности, обеспечивая при этом принципиальную возможность последующего уточнения модели без кардинальной ее перестройки.
Повреждаемость элементов в структурных моделях является предметом довольно редких публикаций. Регель предложил вводить в полимерные модели повреждаемые структурные элементы в форме гибких нерастяжимых нитей различной длины, не сопротивляющихся растяжению, пока пить не распрямится на полную длину, но требующих усилие для разрыва. Физическая представительность таких моделей не очень понятна. Гохфельд и Садаков разработали структурную модель, правда, для металлических сплавов, учитывающую упругопластическую повреждаемость их элементов.
Можно легко сконструировать различные варианты модельных структур, состоящих из элементов, способных повреждаться при деформировании. В качестве начальной нами была выбрана простая конструкция, удобная для решения задач, в которых задают деформацию, а вычисляют силовой отклик. Модель (рис. 16) представляет собой набор упругих связей одинаковой длины s и жесткости g, параллельно включенных в сопротивление деформированию посредством захватов, через которые ей передается внешняя нагрузка. Модель испытывают раздвиганием зажимов и сближением их после растяжения (при необходимости).
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Принимается, что после достижения связями определенной критической деформации они разрываются и выключаются из внутреннего сопротивления. Разрывная деформация, приписанная связям, неодинакова. Она задается случайным образом. Поэтому их разрывы происходят не одновременно. Каждый такой разрыв можно рассматривать как единичное повреждение.
Очевидно, что по мере раздвигания зажимов модели количество разрывов связей увеличивается, т. е. с возрастанием деформации величина накопленной поврежденности увеличивается. Это приводит к прогрессирующему снижению жесткости модели (ее размягчению). Таким образом, можно считать, что рассмотренный механизм имитирует эффект Маллинза, характерный для наполненных эластомерных систем.
В принятой схеме структурными параметрами модели являются: длины связей s; их жесткость g: плотность распределения рr разрывных деформаций связей еr на заданном отрезке от (еr)min до (еr)max, в дальнейшем принимаемая одинаковой для всех связей; начальное число связей N0.
Макроскопическое поведение модели выражено зависимостью усилия F в зажимах от величины их взаимного перемещения W по сравнению с исходным состоянием. Очевидно, что текущее сопротивление модели F есть сумма сопротивлений fi, производимых уцелевшими связями.
Закон сопротивления fi отдельной связи может быть представлен как
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

где еi — деформация связи, равная W/s.
Текущее сопротивление модели представляет собой сумму
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

где с — номер неразрушенной связи с минимальной разрывной деформацией.
Так как величина F зависит от числа связей N0, то для анализа удобнее использовать приведенную величину σ = F/N0, подобно тому, как это делают при определении напряжения.
Аналогично макроскопическую деформацию модели ε также удобно представлять в приведенной форме как отношение удлинения W к длине связей s: ε = W/s.
Степень поврежденности модели D выражается отношением числа разорванных связей Nc к начальному числу связей N0:
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Очевидно, что D изменяется от нуля до единицы.
В типовых зависимостях σ ~ ε и D ~ ε (рис. 17) входные данные заданы следующим набором: s = 1; g = 1; (еr)i с одинаковой плотностью вероятности распределены на отрезке от (еr)min = 0 до (еr)mах = 2; N0 = 20.
Зависимость σ~ε (см. рис. 17, а) представляет собой параболическую пилообразную кривую, отображающую дискретный характер модели: разрыв каждой связи вызывает мгновенный сброс усилия на величину, соответствующую новому уменьшенному значению модуля упругости. В связи с этим зависимость становится нелинейной. Напряжение проходит через максимум (около σ=0,5) и в конце концов спадает до нуля (около ε=1,0) по мере уменьшения количества активных связей. Накапливание повреждепности (рис. 17, б) близко к линейному нарастанию. Очевидно, что полное разрушение модели происходит в момент достижения деформацией величины (er)max.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Континуальные описания механического поведения, применяемые для оценки напряженно-деформированного состояния конструкций, сами не в состоянии предсказывать момент разрушения материала в нагружаемой конструкции. Для этой цели используют опытные данные, полученные при разрушении образцов материала, которые после соответствующей математической обработки преобразуют в критерии прочности в форме некоторых предельных состояний, выраженных через напряжения или деформации. Прочностная оценка, таким образом, складывается как бы из двух независимых характеристик одного и того же материала. Такой общепринятый подход не требует знания внутренней (структурной) эволюции материала, обусловливающей переход диффузного накопления поврежденности к макроскопическому разрыву образцов.
Поскольку в нашей схеме внутренняя структура материала остается известной на протяжении всего времени его деформирования вплоть до полного разрушения всех связей, представлялась заманчивой попытка описать средствами этой модели переход от начального спокойного накопления поврежденности к мгновенному локальному макроскопическому (одноразовому) разрушению без необходимости прибегать к использованию критериев прочности.
Теория Гриффитса была, по-видимому, первой попыткой объяснить разрушение со структурных позиций. Гриффитс отказался от рассмотрения материала как совершенно однородной среды, предположив существование в нем некоторого количества слабых мест типа зародышей микроскопических трещин. Такие материалы способны нести без разрушения все возрастающие нагрузки, до тех пор пока в самом слабом месте не возникает локальная потеря устойчивости, дающая начало зарождению и росту макроскопической трещины. Прорастание трещины после потери устойчивости носит обычно катастрофический характер.
Идея Гриффитса, будучи общепринятой как некоторая объяснительная теория, не получила, однако, такого развития, при котором определяющие соотношения содержали ее в себе, что исключило бы необходимость использования критериев прочности.
Механические исследования композиционных материалов, способных накапливать микроповрежденность и размягчаться, сохраняя при этом свою работоспособность, показывают, что и их разрушение, например в опытах на растяжение, носит внезапный характер, напоминающий Гриффитсово разрушение. Ho если в случае обычных твердых тел слабое место будущего разрушения предопределено технологией изготовления материала и сохраняется неизменным, то композиты, накапливающие поврежденность, непрерывно изменяют свое состояние, и к моменту разрушения их структура весьма далека от первоначальной.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

В то же время быстрый характер разрушения наводит на мысль, что и в этом случае причиной макроразрушеиия должна быть опять-таки потеря устойчивости, которая каким-то образом подготавливается структурными изменениями во время накопления поврежденности.
Для проверки возможности построения модели, позволяющей описывать потерю устойчивости, вызываемую накоплением микроповреждений, рассмотренная конструкция (см. рис. 16), была преобразована в более сложную (рис. 18). Теперь она представляет собой цепочку из M "сечений", как на рис. 16, каждое из которых содержит N0 параллельно включенных упругих связей одинаковой длины и жесткости, но с различными случайно назначенными разрывными деформациями. При растяжении такой системы связи в ней рвутся случайным образом, имитируя накопление рассеянной микроповрежденности.
В начальный момент, когда все связи еще целые, упругое сопротивление сечений одинаково и образец можно считать механически однородным по длине. Геометрия модели и свойства ее элементов сознательно упрощены, чтобы сделать процесс перехода от диффузного накопления поврежденности к макроразрушению более наглядным.
Схема процесса от начала растяжения до разрыва образца предполагается следующей: деформирование образца растяжением вызывает в нем появление и накопление диффузно распределенных микроповреждений и его размягчение; случайный характер этого процесса нарушает первоначальную идеальную однородность системы, в результате чего жесткость сечений становится неодинаковой; неоднообразие жесткости сечений усиливается с ростом степени по-врежденности; наступает момент, когда это неоднообразие приводит к потере продольной упругой устойчивости — тогда за счет энергии, накопленной в системе, мгновенно происходит разрыв наиболее податливого сечения, имитирующий образование макротрещины. Нa рис. 18 представлены основные этапы описанного предположения.
Для демонстрации возможностей такого подхода был исследован образец со следующим набором структурных показателей: количество сечений M = 25; начальное количество связей в сечении N0 = 20; длина ненагруженных связей s = 1; жесткость связей g = 1; разрывные деформации связей распределены на отрезке от нуля до двух случайным образом с одинаковой плотностью вероятности (величина средней разрывной деформации равна единице).
Вычисление кривых деформирования заключалось в пошаговом растяжении модели с установлением количества поврежденных связей и соответствующего усилия. Величины удлинения W и усилия F рассматриваются как показатели макроскопического состояния системы. В целях получения данных для сравнительного анализа, как и выше, F нормализовалось отношением σ = F/N0 (аналог напряжения), W отношением ε = W/M (аналог деформации). Степень поврежденности образца D определялась отношением разрушенных связей Nr к общему их числу D = Nr/(МN0). Показатель продольной упругой неоднородности образца V вычислялся по формуле
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

где Gi — жесткость i-го сечения, G — средняя жесткость сечения в объеме образца.
Нa рис. 19 представлены данные, полученные в 20 параллельных численных экспериментах. Затененные области показывают разброс свойств. Скобки определяют разбросы предельных характеристик σb, εb, и Db.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Расчеты подтвердили, что в ходе накопления поврежденности действительно появляется и усиливается неоднородность в жесткости сечений (рис. 19, в), и когда она достигает 10 ± 3%, происходит внезапный разрыв образца, обусловленный потерей упругой устойчивости. К этому моменту поврежденность образцов составляет 25 ± 4% (рис. 19, б).
Кривые σ ~ ε на рис. 19, а нелинейны в связи с размягчением (эффект Маллинза). Область разброса разрывных деформаций лежит в пределах от 45 до 65% со средней величиной 52%, что составляет около 0,5 от средней разрывной деформации связи. Разброс разрывных усилий — от 0,34 до 0,40 со средней величиной 0,38, что составляет около 0,4 от среднего разрывного усилия связи.
Возникновение макротрещины на структурном уровне происходит следующим образом. Типовые кривые растяжения для одного сечения всегда имеют форму пилообразных парабол, как, например, показано на рис. 17. Очевидно, что любое сечение не может нести нагрузку, которая больше его максимального сопротивления. Последнее можно рассматривать как его несущую способность (Bс). В цепочке взаимосвязанных сечений подобного рода всегда найдется одно с минимальной несущей способностью (Bс)min. Именно оно обречено быть разрушенным, когда нагрузка в образце, возрастая, достигнет величины (Bc)min. В этот момент очередной разрыв одной связи в рассматриваемом слабом сечении вызывает лавинообразное разрушение всех остальных связей, в то время как другие сечения из-за уменьшающейся жесткости разрушающегося сечения начинают сокращаться.
Очевидно, что прочность слабейшего сечения определяет одновременно и прочность образца в целом. Важно отметить, что в момент разрыва слабое сечение только наполовину реализует свою собственную деформационную возможность.
В рассматриваемом варианте модели интерес представляют два момента: роль ее геометрической специфики, характеризуемой M и N0, и влияние формы распределения разрывных деформаций связей на ее механическое поведение. В некотором смысле M отображает длину реальных образцов, а N0 можно интерпретировать как меру механической однородности поперечных сечений. Увеличение M должно вести к уменьшению разрывных деформаций, потому что возрастает вероятность появления сечений с меньшей несущей способностью. В то же время, чем выше N0, тем слабее выражена пилообразность в кривых растяжения отдельных сечений и тем меньше вероятность появления в модели сечений с низкой несущей способностью. Следовательно, увеличение Nq должно вести к возрастанию разрывных деформаций. Если N0 устремить к бесконечности, кривая растяжения сечения вырождается в параболу с разрывной деформацией 2 и несущей способностью 0,5 (при деформации, равной единице). Поэтому можно предположить, что увеличение N0, способствующее большей механической однородности системы, должно увеличивать обе предельные характеристики образцов.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Было выполнено численное экспериментирование для проверки сделанной выше предварительной качественной оценки. На рис. 20 представлены зависимости критических значений деформаций (а), напряжений (б), поврежденности (в) и продольной упругой неоднородности (г) от N0 при различных M, полученные как средние из 1000 параллельных испытаний. Хотя эти зависимости дискретны по своей природе, для большей наглядности мы представили их в форме непрерывных функций.
Действительно, увеличение длины образцов M приводит к падению критических деформаций, напряжений и поврежденности. Однако эти величины стремятся не к нулю, а к некоторым асимптотическим значениям, зависящим от N0. В то же время с ростом N0 критические напряжения и деформации увеличиваются, а значения критической продольной неоднородности проходят через максимум (при N0 около 30).
Из рис. 20, а следует, что десятикратному увеличению N0 соответствует примерно полуторное увеличение разрывных деформаций. Предположив, что Nq является прототипом числа частиц в поперечном сечении реального композита, можно ожидать, что простая замена крупных частиц наполнителя большим количеством мелких (при том же наполнении) должна увеличивать разрывные деформации композита. Экспериментальные данные, зафиксировано двукратное возрастание разрывной деформации при замене 200-микронных частиц 30-микронными, качественно подтверждают эту закономерность.
В самом начале растяжения, когда система близка к идеальной однородности, жесткость сечения с минимальной несущей способностью не может заметно отличаться от средней жесткости сечения всей системы. Однако в ходе удлинения образца слабое сечение в какой-то момент должно проявить себя как наиболее податливое. Чтобы исследовать эту закономерность, вычисляли относительное падение жесткости слабого сечения η = Gmin/G от напряжения при деформировании образцов, различающихся значениями N0 при постоянном M = 25. Результаты приведены на рис. 21, где каждая кривая представляет среднее из 20 параллельных испытаний. В начале растяжения (низкие напряжения) η действительно близка к единице. С возрастанием напряжения она начинает склоняться к горизонтальной оси. В качестве допускаемых напряжений разумно принять такие, при которых η сохраняется еще достаточно близкой к единице, например 0,98. Эти значения напряжения для разных N0 показаны вертикальными стрелками. Рисунок позволяет установить коэффициенты запаса к по напряжению как отношения разрывных (в принятом смысле) напряжений к соответствующим безопасным. Зависимость к от N0 (рис. 22) свидетельствует, что "грубо" построенные системы (малые величины N0) требуют использовать более высокие коэффициенты запаса. Приведенные значения к близки к общепринятым в строительной практике.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Вторая проблема общего плана — влияние распределения разрывных деформаций на предельные характеристики. До сих пор рассматривалось широкое распределение R с равномерным распределением плотности вероятности от нуля до 2. Если R сузить до нуля, образец становится идеально однородным в отношении разрушения связей. При растяжении такой образец будет сохраняться неразрушенным, пока удлинение связей не достигнет критической величины, после чего должно произойти одновременное (как бы взрывное) разрушение всех связей. Указанный тип разрушения можно рассматривать как предельно хрупкий и вряд ли возможный, так как идеально однородных материалов не существует.
Если в модели такого материала допустить существование только одной связи с незначительно меньшим по сравнению с другими предельным удлинением, то такой материал при растяжении останется упругим, пока не разорвется отмеченная слабая связь. Сечение, в котором она расположена, размягчится и будет немедленно разорвано энергией, накопленной в других сечениях, поскольку в результате уменьшения его жесткости все остальные связи разом удлиняются за свои предельные значения. В рассмотренном случае процесс выглядит более реалистичным, напоминающим Гриффитсово разрушение: слабое место, разрушившись, вызывает потерю упругой устойчивости с образованием макротрещины после разрыва всех связей сечения. Рассмотренный процесс — идеально хрупкий, поскольку не сопровождается предварительным накоплением поврежденности.
Представлялось интересным выяснить, как хрупкость (в указанном смысле) будет ослабляться с ростом неоднородности по разрывным удлинениям связей, характеризуемой величиной интервала их распределения R. Можно было предположить, что предразрывная накопленная поврежденность будет монотонно возрастать с увеличением этого параметра. Результаты численного эксперимента, представленные на рис. 23, однако, свидетельствуют, что образцы остаются идеально хрупкими, пока R не достигнет 0,5 (!). При всех значениях R меньше 0,5 первый случайный разрыв какой-либо связи вызывает разрушение того сечения, в котором она находилась. Эта закономерность сохраняется при различных сочетаниях геометрических параметров M и N0 и, по-видимому, носит общий характер.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Выше рассмотрен вариант упругохрупкой модели. Его анализ позволил выявить ряд особенностей в проблеме структура - свойства, которые заранее предвидеть было невозможно, таких как критические значения накопленной поврежденности в зависимости от структурных параметров M и N0, а также от распределения разрывных деформаций связей; зависимость разрывных деформаций от начального числа связей в сечениях N0; качественная оценка коэффициентов запаса прочности в зависимости от N0. Эти результаты свидетельствовали, что базовая конструкция модели (см. рис. 18) достаточно представительна и может быть использована в качестве основы для дальнейшего развития модели.
Упругохрупкий вариант модели не учитывает реально наблюдаемого временного характера накопления Маллинзовой поврежденности. Поэтому она должна быть уточнена вводом механизма долговечностного разрушения связей. С этой целью можно использовать любой удобный для расчетов феноменологический закон накопления поврежденности собственно в связях, например такой, в котором долговечность связи ставится в зависимость от истории ее деформирования. В этом приближении продолжительность тi существования i-й связи, нагруженной постоянной деформацией еi, вычисляется из выражения
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

где k и m — материальные константы связи. Если деформация связи изменяется во времени, ei = еi(t), используется известное правило линейного суммирования поврежденности
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

где tr — время долговечности i-й связи.
Теперь можно заменить принятое вначале условие разрушения связи в форме критической деформации на условие, учитывающее время ее жизни в зависимости от истории ее деформирования еi(t). Такая модель уже способна описывать комплекс свойств, проявляющихся во времени: ползучесть, релаксацию, чувствительность к скорости растяжения.
В расчетах неоднообразие долговечностных свойств связей задается через распределение параметра к в достаточно широком временном интервале. Типовые кривые ползучести и релаксации, включающие момент разрушения, приведены на рис. 24. Расчет выполнялся для M = 25, N0 = 20, m = 5, 0 и k, случайно распределенном в интервале от 0 до 10 с одинаковой плотностью вероятности. Под этими кривыми приведены в уменьшенном масштабе соответствующие кривые долговечности, полученные в режиме ползучести и релаксации.
Уровни критических поврежденностей и критических упругих продольных неоднородностей в момент разрушения образцов близки к значениям, характерным для упругохрупкого варианта модели.
Второй вариант модели, отображая кинетику накопления поврежденности, не содержит описания остаточных гистерезисных явлений в циклах с постоянной амплитудой, вызываемых наличием микрофрикции на участках несовместности перемещений.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Требуется дальнейшее уточнение модели, которое учитывало бы и наличие фрикционного торможения. Более реальная, чем предыдущие, схема эволюции повреждаемого структурного элемента, который теперь представлен не пружинкой, а включением внутри некоторого матричного объема в форме цилиндра, изображена на рис. 25. Растяжение такого цилиндра до определенной деформации (ei)а не нарушает его сплошности и характеризуется сопротивлением с некоторой начальной жесткостью gH. После того как указанная деформация достигнута, происходит отслоение матрицы в полюсной части включения, сопровождаемое падением жесткости матрицы до (gi)к с одновременным включением в противодействие се силы трения в экваториальной части включения, тормозящей растяжение отслоенной матрицы. Как показывают опыты, площадь экваториального контакта в ходе растяжения почти не изменяется. Поэтому в данном качественном рассмотрении можно принять, что сила трения не зависит от текущей деформации и является только функцией скорости скольжения матрицы по поверхности включения — в первом приближении функцией скорости растяжения элемента. После того как растяжение матрицы достигает некоторой предельной величины (ei)r, структурный элемент разрушается (перестает сопротивляться деформированию) в своей наиболее податливой экваториальной части.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

На основании сказанного эволюция свойств единичной связи может быть представлена математической моделью (рис. 26). Пока деформация i-й связи еi не достигла значения (ei)a, сопротивление связи fi = gHei. После отслоения сопротивление связи формируется сопротивлением параллельно включенных упругого и тормозного ее элементов. Разрыв элемента происходит, когда исчерпывается долговечность его упругой части.
Сопротивление i-го структурного элемента растяжению в этом случае может быть представлено следующим образом:
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

где gH — начальная жесткость связи; gК — конечная жесткость связи; (еа)i — деформация связи, при которой происходит отслоение матрицы от включения; тф — величина фрикционного сопротивления; (еr)i — разрывная деформация связи.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Если элемент после растяжения с нарушенной адгезией не доводят до разрыва, а начинают сокращать, то трение включается в противодействие направлению сокращения и сопротивление элемента при этом должно быть представлено следующим образом:
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Был исследован вариант модели, включающий совместное проявление упругохрупкой Маллинзовой поврежденности и фрикционного торможения, возникающего в результате микронарушений сплошности. Расчет проводили при следующих входных параметрах: M = 25, N0 = 20, деформации при адгезионных отрывах распределены случайно в интервале от 0 до 0,6, тф = 0,15. При циклических испытаниях с возрастающей амплитудой наличие фрикции приводит к появлению гистерезисных петель (рис. 27).
Ввод в структуру модели элемента, учитывающего межфазное трение, приближает ее поведение к наблюдаемому у реальных композитов. Тем не менее и этот вариант требует дальнейшего уточнения, которое бы отражало усиление упругого сопротивления и фрикционной диссипации структурного элемента при возрастании давления (см. рис. 5, б и 10, б), а также возникновение и специфику порообразования в результате отслаивания матрицы от наполнителя (см. рис. 5, а, 7, 9).
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Внести связанные с этим уточнения в структуру модели можно на основании следующих очевидных допущений. Влияние давления сказывается только на поврежденных элементах, вокруг которых возникли поры. Следовательно, вносить соответствующие уточнения необходимо в модель, поврежденную отслаиванием связи. При этом можно руководствоваться следующими опытными наблюдениями. Наложение давления на отслоенный элемент приводит к усилению деформационной напряженности матрицы в результате уменьшения объема вакуоли. Поэтому жесткость "отслоенной" связи необходимо теперь считать функцией давления. Повышение жесткости с ростом давления должно продолжаться до тех пор, пока вакуоль не закроется полностью, после чего жесткость связи стабилизируется.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Фрикционное сопротивление при наложении давления также возрастает, потому что уменьшение объема вакуоли приводит к повышению площади фрикционного контакта (см. рис. 9). Аналогично сказанному возрастание фрикционного сопротивления может продолжаться только до тех пор, пока вакуоль не закроется полностью.
Таким образом, выражение (8) должно быть преобразовано к виду, в котором упругая и фрикционная материальные константы становятся функциями внешнего давления. Математическая обработка опытных данных позволила представить жесткость g в правой части равенства (8) эмпирической формулой:
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

где a1, a2, а3, a4 — материальные константы, определяющие влияние давления P на упругость связи.
Аналогичная формула вводится для параметра величины фрикционного сопротивления:
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

где b1, b2, b3 и b4 — эмпирические константы, определяющие усиление фрикционного сопротивления давлением.
Общая форма этих зависимостей показана на рис. 28, а, где также даны расчетные кривые растяжения при различных давлениях, близкие к опытным наблюдениям (см. рис. 5, б). Характеристики модели, принятые для расчета, следующие: M = 25, N0 = 20; интервал случайных деформаций, при которых происходит нарушение адгезионной связи, от 0 до 1,0 при одинаковой плотности их распределения; gH = 5,0. Зависимости gk(Р) и т(Р) имеют вид
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Объем вакуоли, образовавшейся после отслоения матрицы от включения, пропорционален радиусу включения и обратно пропорционален модулю упругости матрицы. Он увеличивается в первом приближении пропорционально деформации и уменьшается с ростом внешнего давления, причем уменьшение не может быть больше, чем текущий объем вакуоли (см. рис. 25).
Математическая обработка доступных литературных материалов позволила получить следующую эмпирическую зависимость относительного объема вакуоли вокруг поврежденного структурного элемента от деформации и давления:
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

где W — удлинение модели; с1 — эмпирическая константа, пропорциональная радиусу включения в структурной ячейке; с2 — эмпирическая константа, зависящая от модуля упругости матрицы. Эта зависимость хорошо отражает опытные данные, приведенные на рис. 5, а.
Для упругохрупкого варианта модели расчетная зависимость объемных изменений от деформации и давления показана на рис. 29. Характеристики принятой модели следующие: M = 25, N0 = 20; интервал случайных деформаций, при которых происходит нарушение адгезионной связи, от 0 до 1,0 при одинаковой плотности их распределения; gH = 5,0, gk = 1, c1 = 0,3, c2 = 0,5.
Простейшие структурные модели композитов и их возможности

Объемная сжимаемость поврежденных композитов заслуживает особого внимания. Появление пор делает композиты чрезвычайно сжимаемыми материалами, при этом уменьшается их объемный модуль от обычных нескольких тысяч до сотен и десятков мегапаскалей в случаях, когда модули матриц низкие. Объемный модуль становится сложной функцией текущих значений степени поврежденности, деформации, среднего напряжения и модуля упругости матрицы. Важным обстоятельством становится то, что объем композита за счет деформирования при определенных условиях может возрастать при сжимающих средних напряжениях.
Это приводит к ситуациям, которые кажутся парадоксальными механикам, привыкшим иметь дело с обычными упругими материалами Гукова типа. Рассмотрим, например, толстосводную трубу под действием внутреннего давления. Специалистам хорошо известно, что максимальные растягивающие деформации и максимальные сжимающие средние напряжения располагаются па внутренней поверхности трубы. Если труба изготовлена из обычного упругого материала, максимальное объемное сжатие она испытывает на своей внутренней поверхности. Однако, если дело имеют с повреждаемым композитом рассматриваемого типа, то при определенных условиях может оказаться, что растягивающие деформации на внутренней поверхности трубы приведут к такому увеличению объема (за счет порообразования), которое не будет компенсировано средним сжимающим напряжением. Тогда, в противовес общепринятой точке зрения, объем материала возрастет в области действия максимальных сжимающих средних напряжений.