Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

07.09.2015

Пусть система N взаимодействующих спинов находится в постоянном магнитном поле H0 = Н0еz, направленном вдоль оси z лабораторной системы координат, и переменном магнитном поле, направленном вдоль оси х: H = H1cosωtex. Удобно рассматривать величину напряженности осциллирующего магнитного поля H как действительную часть комплексной напряженности H
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Допустим, что поле H1 является достаточно слабым, так что индуцируемая им намагниченность M пропорциональна напряженности поля
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

где χ — тензор магнитной восприимчивости. Поскольку H — комплексное поле, то компоненты тензора χ могут быть комплексными величинами
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Физически наблюдаемые эффекты взаимодействия между радиочастотным полем и ядерной восприимчивостью следует сопоставить с действительной частью намагниченности, которую определим из следующего равенства:
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

В равенство (7.31) входит только компонента тензора магнитной восприимчивости χ, индекс при которой мы опустили. В рассматриваемом нами случае остальные компоненты тензора χ можно выразить через величины χxx' и χxx''. Однако встречаются физические ситуации (например, ферромагнитный резонанс), когда необходимо знать и другие компоненты этого тензора.
Условие линейности или отсутствие насыщения предполагает, что χ' и χ'' не зависят от H1. В линейной теории резонанса между χ' и χ'' существуют независимо от природы рассматриваемой системы общие соотношения Крамерса — Кронига, которые позволяют вычислить одну из этих величин, если для всех значений частоты известна другая
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Компонента намагниченности, параллельная оси х, может быть вычислена с помощью матрицы плотности р системы N спинов
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

где через Mх обозначен оператор х-компоненты магнитного момента системы, а [Мх] — его среднее значение. Из-за наличия взаимодействия между спинами весь образец из N спинов приходится рассматривать как единую большую систему, а переходы, вызванные радиочастотным полем, — как переходы между различными энергетическими уровнями этой системы. Весь образец, содержащий N спинов, теперь становится одним элементом статистического ансамбля и описывается матрицей плотности р, имеющей размерность (2I+1)N*(2/+1)N.
Матрица плотности удовлетворяет кинетическому уравнению
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

где Hn — полный гамильтониан системы. Он может быть представлен в виде суммы трех членов
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

описывает зеемановское взаимодействие магнитных моментов ядер с постоянным внешним магнитным полем;
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

учитывает вазимодействие между спинами, а
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

описывает взаимодействие спинов с переменным магнитным полем. Величины Аαβij образуют тензор взаимодействия, природу которого мы пока не конкретизируем (наиболее часто — это тензор диполь-дипольного взаимодействия). Будем лишь предполагать, что взаимодействие, описываемое оператором H1, является гораздо более слабым, чем H0. Вследствие малой величины амплитуды переменного магнитного поля будем также считать, что //H2//≤//H0//.
С учетом (7.33) уравнение для матрицы плотности может быть записано в виде
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Введем обозначение H=H0+H1 и перейдем в (7.34) к представлению взаимодействия, полагая.
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Тогда получим уравнение движения в виде
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Поскольку HD2 мало, то уравнение (7.35) можно решить методом последовательных приближений и ограничиться при этом только первым приближением. В первом порядке по взаимодействию получим
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

где р0D = рD/t=-∞ — значение рD в начальный момент времени до включения взаимодействия. Будем считать, что до включения переменного магнитного поля система находится в состоянии термодинамического равновесия, т. е.
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Вернемся в выражении (7.36) от рD к р. Для этого умножим (7.36) слева на ехр (-IHt/h) и справа на ехр (iHt/h).
Тогда получим
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Преобразуем (7.37), вводя новую переменную интегрирования t—t' = u
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Положим в (7.38) u = t'. Подставляя (7.38) в (7.32), получим среднее значение намагниченности вдоль оси х
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Предположим, что до включения радиочастотного поля намагниченность вдоль оси х была равна нулю, т. е.
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

и используя определение (7.31), получим из (7.39) выражение для мнимой части магнитной восприимчивости
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Будем далее использовать высокотемпературное приближение, т. е. будем считать температуру достаточно высокой для того, чтобы можно было использовать линейное разложение для матрицы плотности в равновесном состоянии
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Здесь E — единичная матрица размерности (2I+1)N*(2I+1)N. Следовательно,
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Подставляя (7.41) и (7.42) в (7.40) и учитывая, что единичный оператор коммутирует с любым оператором, т. е. [Е, .Mx(t')] = 0, получим
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Выберем в качестве базиса полную систему собственных функций оператора H
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Интеграл в формуле (7.44) вычислим по частям. Принимая во внимание, что внеинтегральный член обращается в нуль, получим для x'' следующее выражение:
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Преобразуем подынтегральное выражение в (7.45), вводя оператор в представлении Гейзенберга
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Обозначим через G(е) = Sp{Mx(t)Mx} функцию корреляции поперечной намагниченности системы. Из (7.45) получим
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

т. е. мнимая часть магнитной восприимчивости системы есть Фурье-образ корреляционной функции поперечной намагниченности. Выражение подобного вида для х" можно получить, не предполагая, что ω0≪kT. В этом случае
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Так как оператор Mx имеет отличные от нуля матричные элементы только для переходов с переворотом одного из спинов, то En-Em-tω, и в случае слабого взаимодействия H1 получим
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

В высокотемпературном приближении можно получить другое выражение для x''. Учитывая, что cosωt = (ехр(iωt) + ехр(-iωt))/2, преобразуем интеграл формулы (7.45) к виду
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

В этой формуле x'' выступает как вероятность перехода в системе, находящейся под действием периодического возмущения с частотой ω. Это и не удивительно, так как величина x" пропорциональна энергии радиочастотного поля, поглощаемой в единице объема образца в единицу времени
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

С другой стороны, энергия, поглощаемая системой, пропорциональна кванту энергии и вероятности перехода между состояниями. Предположим, что взаимодействие отсутствует. В этом случае матричный элемент [m/Mx/n] = yh[m/Ix/n] отличен от нуля только для переходов между двумя состояниями, отличающимися направлением одного спина. При этом величина х" пропорциональна δ(ω-ω0), и линия бесконечно узкая. Функция корреляции пропорциональна фурье-преобразованию функции х"
Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Учет члена H1 в гамильтониане приводит к появлению у линии конечной ширины или к затуханию функции G(t).