Матрица плотности и ее свойства

07.09.2015

Состояния квантовых систем могут быть чистыми и смешанными. Чистым называется состояние, которое может быть описано волновой функцией. Для системы, находящейся в чистом состоянии, характеризуемом волновой функцией ψ, среднее значение некоторой величины, которой соответствует оператор М, равно
Матрица плотности и ее свойства

Смешанным называется такое состояние системы, которое не может быть описано определенной волновой функцией. Смешанное состояние определяется заданием ряда функций состояний ψn и вероятностями Wn, с которыми осуществляются данные состояния, т.е, для описания смешанного состояния нужно задать два ряда характеристик: ψ1, ψ2, ..., ψn, ... и W1, W1, ..., Wn, .... При этом известно, что система может находиться в состоянии ψ1 с вероятностью W1, в состоянии ψ2 с вероятностью W2 и т.д. Следовательно, смешанное состояние можно рассматривать как некогерентную смесь чистых состояний ψi со статистическими весами W1, где Wi — действительные положительные числа, удовлетворяющие соотношению Σi Wi = 1.
Вычислим среднее значение оператора M в смешанном состоянии. Учитывая, что среднее значение оператора M в чистом состоянии ψi определяется формулой (7.1) и что чистое состояние ψi осуществляется в смешанном состоянии с вероятностью Wi, получим среднее значение оператора M в смешанном состоянии в виде
Матрица плотности и ее свойства

Введем статистический оператор или матрицу плотности
Матрица плотности и ее свойства

где Р[ψi] = [ψi> <ψi] — оператор проектирования на состояние ψi. Пусть известна полная система собственных функций un некоторого оператора L. Разложим ψi по полной системе ортонормированных функций un
Матрица плотности и ее свойства

т.е. представим ψi в виде суперпозиции состояний. Матричные элементы оператора р в базисе функций um равны
Матрица плотности и ее свойства

Подставляя (7.4) в (7.2) и учитывая (7.3) и (7.5), получим среднее значение оператора M в смешанном состоянии в виде
Матрица плотности и ее свойства

где Sp (рМ) — сумма диагональных матричных элементов оператора pМ в произвольном ортогональном базисе. Если система находится в чистом состоянии, характеризуемом волновой функцией ψi = ψ, то Wi = 1, и статистический оператор имеет вид
Матрица плотности и ее свойства

т. е. равен оператору проектирования на состояние ψ. Среднее значение оператора M в чистом состоянии равно
Матрица плотности и ее свойства

т. е. выражается той же формулой, что и в случае смешанного состояния. Этот результат вполне естествен, поскольку чистое состояние является частным случаем смешанного состояния. Существует простой критерий, который позволяет по виду матрицы плотности определить, в каком состоянии (чистом или смешанном) находится система. Из формулы (7.7) следует, что матрица плотности системы, находящейся в чистом состоянии удовлетворяет соотношению р2=р. Для системы в смешанном состоянии это соотношение не выполняется. Описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического описания системы. Произвольное состояние любой системы, являющейся частью большой системы и взаимодействующей с остальными частями системы, может быть описано только с помощью матрицы плотности.
Матрица плотности является эрмитовской матрицей (это следует из условия действительности средних значений), удовлетворяющей условию нормировки
Матрица плотности и ее свойства

Выясним физический смысл условия нормировки (7.8). Диагональный элемент матрицы плотности pnn = Σi Wi/Cni/2≥0 определяет вероятность обнаружить систему в состоянии, описываемом волновой функцией ψn. Следовательно, Spp = Σ pnn = 1 представляет собой полную вероятность обнаружить систему в каком-либо состоянии ψn (n = 0,1,2, ...).
Рассмотрим матрицу плотности рS замкнутой системы в шредингеровском представлении и получим для нее уравнение движения. В случае замкнутой системы величины Wi не будут зависеть от времени, и зависимость от времени матрицы плотности pS будет определяться только зависимостью от времени волновых функций (t), которые подчиняются нестационарному уравнению Шредингера
Матрица плотности и ее свойства

Продифференцируем по времени элементы матрицы плотности, определяемые формулой (7.5)
Матрица плотности и ее свойства

Вводя квантовые скобки Пуассона, можно получить из (7.12) уравнение движения для оператора рS в виде
Матрица плотности и ее свойства

В случае, когда H не зависит от времени (т. е. для замкнутой системы) формальное решение уравнения (7.13) имеет вид
Матрица плотности и ее свойства

где pS(0) = pS/t=0 — значение матрицы плотности в начальный момент времени. Найдем матричные элементы оператора p(t) в базисе функций un, которые являются собственными функциями оператора H:
Матрица плотности и ее свойства

В этом случае элементы матрицы плотности с течением времени изменяются по гармоническому закону, причем частота колебаний определяется разностью энергий состояний [m/ и /n], относительно которых вычисляются элементы матрицы плотности.
Для описания эволюции квантовых систем наряду с шредингеровским используют гейзенберговское представление и представление взаимодействия.
В гейзенберговском представлении эволюция системы описывается изменением во времени операторов, волновые функции при этом от времени не зависят. Операторы LH(t), волновые функции ψH и статистический оператор рH в этом представлении связаны с соответствующими величинами в шредингеровском представлении соотношениями
Матрица плотности и ее свойства

При этом мы считаем оператор Н не зависящим от времени. Уравнение движения для операторов LН(Z) в представлении Гейзенберга имеет вид
Матрица плотности и ее свойства

B представлении взаимодействия или представлении Дирака изменяются со временем и операторы LD(t), и волновые функции ψD(t). Полный гамильтониан H системы при этом разбивают на два слагаемых
Матрица плотности и ее свойства

где H0 — оператор Гамильтона без учета взаимодействия частей системы, а H1 — оператор взаимодействия. Для простоты будем предполагать, что не зависит явно от времени. Операторы LD(t), волновые функции ψD(t) и статистический оператор pD(t) в представлении взаимодействия связаны с соответствующими величинами в шредингеровском представлении соотношениями
Матрица плотности и ее свойства

Волновая функция и матрица плотности в представлении взаимодействия изменяются со временем по закону
Матрица плотности и ее свойства

Этот оператор, называемый оператором преобразования, удовлетворяет уравнению
Матрица плотности и ее свойства

и начальному условию S(0,0) = 1, где
Матрица плотности и ее свойства

Средние значения любого оператора совпадают во всех трех представлениях
Матрица плотности и ее свойства

Получим уравнение движения для матрицы плотности в представлении взаимодействия. Будем исходить из уравнения движения (7.13)
Матрица плотности и ее свойства

для матрицы плотности в представлении Шредингера.
Подставим в (7.17) pS (t), определяемое формулой (7.16)
Матрица плотности и ее свойства

Умножая (7.18) слева на ехр(iH0t/h), а справа на ехр(-iH0t/h) и вводя оператор взаимодействия HD1 в представлении взаимодействия
Матрица плотности и ее свойства

получим уравнение движения для матрицы плотности в представлении взаимодействия
Матрица плотности и ее свойства

В начальный момент времени
Матрица плотности и ее свойства

Вследствие малости оператора H1 и (HD1) уравнение (7.20) при начальном условии (7.21) можно решать методом последовательных приближений, ограничиваясь при этом небольшим числом итераций.
Если в качестве H0 рассматривается оператор зеемановского взаимодействия системы одинаковых спинов с внешним магнитным полем, то переход к представлению взаимодействия является переходом к системе координат, вращающейся с ларморовой частотой. Покажем это, например, для оператора Ix. Учитывая, что H0 = -yhIzH0 = -hw0Iz, запишем оператор Ix в представлении взаимодействия в виде
Матрица плотности и ее свойства

где φ = ω0t. Чтобы найти f(φ), можно было бы разложить экспоненты в ряды, воспользоваться коммутационными соотношениями и упростить вид этого оператора. Однако проще написать дифференциальное уравнение для функции f(φ). Найдем производную от f по φ
Матрица плотности и ее свойства

Формулы (7.25) — (7.27) описывают преобразование операторов компонент вектора момента количества движения при переходе от лабораторной системы координат к вращающейся с угловой скоростью ω0 относительно оси z.
Найдем вид статистического оператора в шредингеровском представлении для системы, которая описывается гамильтонианом H0 и находится в состоянии теплового равновесия при температуре Т. Для этого получим вначале матричные элементы статистического оператора в базисе функций, являющихся собственными функциями оператора H0. Заселенности состояний с энергиями Em определяются множителями Больцмана, которые определяют диагональные элементы матрицы плотности
Матрица плотности и ее свойства

Недиагональные матричные элементы (см. (7.15))
Матрица плотности и ее свойства

гармонически осциллируют со временем. Если они не равны нулю, то должно существовать такое свойство системы, которое также будет гармонически осциллировать со временем. Однако это противоречит предположению о том, что система находится в состоянии термодинамического равновесия, так как в таком состоянии все свойства системы не зависят от времени. Следовательно, недиагональные элементы матрицы плотности должны обратиться в нуль. Из формулы (7.28) видно, что если недиагональные элементы матрицы плотности обращаются в нуль в некоторый момент времени, то они равны нулю все время. Следовательно,
Матрица плотности и ее свойства

По матричным элементам (7.29) можно восстановить статистический оператор, который дает матричные элементы (7.29) на собственных функциях оператора Он имеет вид
Матрица плотности и ее свойства

Для вычисления свойств системы можно воспользоваться операторным методом. Вычислим, например, 2-компоненту намагниченности для системы невзаимодействующих одинаковых спинов, находящихся в состоянии теплового равновесия при температуре T в постоянном магнитном поле H0. Гамильтониан этой системы имеет вид H0 = -yhIzH0, где Iz — z-компонента суммарного спина. Среднее значение z-компоненты намагниченности равно
Матрица плотности и ее свойства

Рассмотрим случай высоких температур, т. е. будем считать, что энергия взаимодействия спинов с магнитным полем гораздо меньше тепловой энергии, тогда можно разложить экспоненты в ряды и ограничиться в числителе двумя членами разложения и в знаменателе одним
Матрица плотности и ее свойства

где E — единичный оператор. В качестве базиса будем рассматривать полный набор собственных функций оператора H0, т. е. собственные функции операторов Iz и I2 (так как они коммутируют). Таких функций будет (2I+1), поэтому SpE = 2I+1
Матрица плотности и ее свойства

Матрица плотности и ее свойства

Следовательно,
Матрица плотности и ее свойства

Это равенство представляет собой закон Кюри для z-компоненты намагниченности.