Экспериментальное вычисление второго момента

05.09.2015

При записи линий ядерного магнитного резонанса на ленту самописца в твердых телах используется методика дифференциального прохождения, описанная ранее. Если величина модуляции магнитного поля достаточно мала, то записанный сигнал представляет собой первую производную от контура линии поглощения g'(H) (см. рис. 1.23). Тогда величина второго момента вычисляется по формуле (2.56). Так как g'(H) задана графически, то и практическое вычисление интегралов, входящих в (2.56), следует проводить численным способом. Наиболее употребителен метод трапеции. Вполне достаточная точность получается при разделении всей кривой g'(H) на 40 — 50 точек. Однако если для вычисления второго момента используется ЭВМ, то количество точек желательно уменьшить и использовать какой-нибудь более точный метод численного интегрирования, например, метод парабол.
При малой амплитуде модуляции и сам сигнал мал — отношение сигнала к шуму получается невысоким. В связи с этим полезно рассмотреть условия, при которых амплитуда модуляции является оптимальной.
Будем считать, что имеется некоторая линия поглощения ЯМР, описываемая функцией g(H). Рассмотрим окрестность некоторой точки H и разложим функцию g(H) вблизи этой точки в ряд Тейлора
Экспериментальное вычисление второго момента

Предположим, что имеется синусоидальная модуляция магнитного поля, так что
Экспериментальное вычисление второго момента

где hm и ωm — амплитуда и частота модуляции соответственно. Тогда
Экспериментальное вычисление второго момента

Приемная аппаратура при использовании метода дифференциального прохождения выделяет из сложного сигнала первую гармонику. Ее амплитуда U1 оказывается равной
Экспериментальное вычисление второго момента

Запись на ленту самописца представляет собой с точностью до постоянного множителя именно функцию U1(H), а вовсе не g'(H). Только при очень малых hmU1(H) пропорционально как g'(H), так и hm.
Второй момент линии поглощения S2 легко выразить через g'(H), если в формуле (2.56 б) интегралы взять по частям и учесть, что g(H) = 0 при Н, сильно отличающихся от H0
Экспериментальное вычисление второго момента

Второй момент экспериментально наблюдаемой линии поглощения S2эксп, вычисляется также по формуле (3.18), но вместо g'(H) подставляется U1(H)
Экспериментальное вычисление второго момента

Используя значение U1(H) в виде ряда, нетрудно вычислить оба интеграла, если считать, что функция U1(H) отлична от пуля в некоторой ограниченной области частот или по крайней мере спадает так быстро, что произведение любой производной от g'(H) на (H-H0)3 равно нулю. Тогда
Экспериментальное вычисление второго момента

где S2ист определяется формулой (3.18). Учет большего числа членов в разложении U1(H) в ряд результата не изменяет. Формула (3.19) позволяет использовать большие амплитуды модуляции, если целью исследования является вычисление второго момента, а не получение правильного контура линии g'(H). Слишком большие амплитуды модуляции, превышающие полуширину линии, обычно приводят к уменьшению интенсивности линий, а также к добавочному увеличению погрешности S2ист. Заметим, что при любой амплитуде модуляций U1(H) антисимметрична.
Вторая причина, приводящая к искажению контура производной линии поглощения, возникает из-за влияния интегрирующих RС-цепочек, обязательно присутствующих в схеме синхронного детектора. Согласно формулам свертки напряжение на выходе некоторой системы для произвольного входного напряжения можно вычислить, если известна реакция системы на единичный толчок A(τ):
Экспериментальное вычисление второго момента

Для интегрирующей цепочки с постоянной времени тo
Экспериментальное вычисление второго момента

Роль Uвх(t) играет U1(t); если же амплитуда модуляции hm достаточно мала, то вместо U1(t) можно подставить g'(t). При линейном во времени прохождении H = vt, где v — скорость прохождения. Таким образом, на ленте самописца получается запись функции Uвых(t). Если экспериментальный второй момент S2эксп определить обычным образом
Экспериментальное вычисление второго момента

то этот экспериментальный второй момент, как и в предыдущем случае, можно выразить через истинный второй момент; появление члена Δt связано с тем, что из-за наличия интегрирующей цепочки функция Uвых (t) обращается в нуль не в точке t = t0, где g'(t) = 0, а в точке t = t0 + Δt.
Рассмотрим интегралы, входящие в предыдущую формулу
Экспериментальное вычисление второго момента

Внутренний интеграл в этом выражении легко вычисляется. Если учесть, что из-за нечетности кривой g'(t) относительно t0
Экспериментальное вычисление второго момента

при k = 0, 1, 2, ..., то
Экспериментальное вычисление второго момента

Рассуждая аналогично, получаем
Экспериментальное вычисление второго момента

Подставляя значения интегралов в формулу для S2эксп получаем
Экспериментальное вычисление второго момента

При не слишком больших τ0 величину vΔt легко вычислить, так как к моменту времени t0 + Δt синхронный детектор „забывает“ начало спектра и реагирует лишь на его центральную часть. Вблизи t = t0 функцию g'(t) почти всегда можно аппроксимировать отрезком прямой
Экспериментальное вычисление второго момента

Известно, что линейно-изменяющееся напряжение при прохождении через интегрирующую цепочку с постоянной времени τ0 запаздывает на величину τ0, не меняясь по форме, если с момента включения этого напряжения прошло время, большее Зτ0. Тогда
Экспериментальное вычисление второго момента