Общее решение уравнений Блоха

05.09.2015

Решая уравнения Блоха (1.86)—(1.88), желательно получить такие значения компонент ядерной намагниченности u(t), v(t), Mz(t), которые позволяли бы объяснить наблюдаемые во время эксперимента сигналы ЯМР. Поэтому сами уравнения должны истолковываться таким образом, чтобы они наилучшим образом отражали условия эксперимента. При получении сигналов ЯМР — сигналов поглощения илидисперсии (рис. 1.15) — необходимо проходить через резонансные условия, т. е. изменять магнитное поле H0(t) при постоянной частоте со поля Н\ или, наоборот, изменять частоту переменного поля ω(t) или расстройку Δω(t) при постоянном значении напряженности поля H0. Следовательно, в уравнениях Блоха коэффициенты Δω и M0 необходимо рассматривать не как постоянные параметры, а как функции времени (M0(t) = x0H0(t)). А это означает, что уравнения (1.86)—(1.88) являются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Решения таких уравнений в общем виде могут быть получены лишь в виде плохо сходящихся рядов. Ограничиваясь определенным числом членов этих рядов, можно получить приближенные выражения для функций u(t), v(t) и Mz(t) с той или иной степенью приближения.
Для получения общего решения уравнений Блоха могут быть применены разные способы. Здесь мы приведем лишь схему получения общего решения по способу, который применили С.Д. Гвоздовер и А.А. Магазаник. Они привели уравнения. Блоха к интегральной форме, введя две новые переменные u* и v*
Общее решение уравнений Блоха

Получились более простые уравнения типа уравнений Вольтерра
Общее решение уравнений Блоха

где G (t) = [y] H1Mz exp (t, T2).
Решив эту систему уравнений методом вариации произвольных постоянных, они получили общее решение уравнений Блоха в виде
Общее решение уравнений Блоха

где u0 и v0 — начальные значения функций u и v, соответствующие моменту времени t0, а
Общее решение уравнений Блоха

Экспоненциальные члены в (1.99) и (1.100) характеризуют переходные процессы, которые имеют место после быстрого включения или выключения поля H1. В установившемся режиме ими можно пренебречь. Таким образом, для стационарного случая полагая, что t0→-∞ решения (1.99) и (1.100) можно записать в виде
Общее решение уравнений Блоха

При тех же ограничивающих допущениях можно получить и выражение для продольной компоненты ядерной намагниченности
Общее решение уравнений Блоха

Подставляя сюда v(t), получим
Общее решение уравнений Блоха
Общее решение уравнений Блоха

Это интегральное уравнение Вольтерра второго рода решается методом последовательных приближений или при помощи рекуррентной формулы
Общее решение уравнений Блоха

где Mz(0),..., Mz(n-1), ..., Mz(n) — различные (нулевое, ... n-е) приближения для Mz; нулевое приближение будет
Общее решение уравнений Блоха

Полученная форма решений уравнений Блоха в виде рядов трудно применима для практических целей. Даже в случае изменения расстройки Δω с постоянной скоростью (Δω=at) получаются значения u(t) и v(t), которые трудно использовать, например, для определения времен релаксации или других характеристик ЯМР по наблюдаемым на опыте сигналам поглощения или дисперсии.
Однако полученные решения можно упростить, если принять во внимание то обстоятельство, что ширина резонансной линии δH<≪H0 и что в связи с этим можно считать, что за время прохождения через резонансные условия магнитное поле H0 сохраняется неизменным, так что M0 = x0H0 = const и Mz(0) не зависит от времени.
Разлагая (1.104) в ряд при помощи рекуррентной формулы, получим выражения для Mz(t), u(t) и v(t) в виде сходящихся рядов, условием сходимости которых будет неравенство y2H2T1T2 < 1. Если же выполняется условие
Общее решение уравнений Блоха

то можно ограничиться лишь первым членом ряда, и тогда общее решение уравнений Блоха значительно упростится
Общее решение уравнений Блоха
Общее решение уравнений Блоха