Уравнения Блоха

05.09.2015

Принимая во внимание уравнение движения вектора ядерной намагниченности M во внешнем магнитном поле H (1.63) и изменение продольной и поперечной компонент этого вектора в результате спин-решеточной и спин-спиновой релаксаций (1.72) и (1.75), Блох составил систему уравнений, описывающих поведение спиновой намагниченности с учетом воздействия на нее магнитных полей и релаксационных процессов. В основу этой системы положены следующие три уравнения:
Уравнения Блоха

Расписав первое из этих уравнений в систему уравнений для отдельных компонент вектора M и добавив соответствующие релаксационные члены из двух других, Блох получил
Уравнения Блоха

Уравнения Блоха

Записанные таким образом феноменологические уравнения Блоха представляют собой систему дифференциальных уравнений, которые достаточно хорошо применимы для жидкостей с большими временами релаксации, резонансные эффекты у которых наблюдаются в виде одиночных узких линий. Они позволяют проанализировать поведение ядерной намагниченности и в ряде других случаев (без учета, квадрупольной релаксации и некоторых специфических взаимодействий).
Если переменное поле H1, а также спин-спиновая и спин-решеточная релаксации отсутствуют (H1 = 0, T2 = ∞ и T1 = ∞), то уравнения Блоха сводятся к простому уравнению движения для вектора M в постоянном магнитном поле H0. Анализ подобного уравнения, сделанный ранее, показывает, что в данном случае вектор намагниченности M будет совершать прецессию вокруг направления постоянного магнитного поля H0 с частотой ω0 = уН0. При этом вращение будет по часовой стрелке при у < 0 и в противоположном направлении при у ≥ 0.
Если в подобном случае (H0 = const, Hх = 0; Hу = 0) учесть релаксационные процессы (T1 ≠ ∞ и T2 ≠ ∞), то, принимая во внимание экспоненциальное изменение Mz(t) и M/(t), можно сделать вывод о том, что прецессия вектора M вокруг H0 происходит с изменением его длины [М] и угла θ.
В какой-то мере уже рассматривалось и поведение магнитного момента при воздействии на него постоянного и переменного магнитных полей (без учета релаксации).
Рассмотрим этот частный случай подробнее для вектора M во вращающейся системе координат x'y'z' с началом координат внутри элемента объема вещества, обладающего ядерной намагниченностью М, и с частотой вращения ω'. Из уравнения (1.63) следует, что в результате взаимодействия ядерной намагниченности с полем H0 вектор M получает приращение dMн, которое в декартовой системе координат равно
Уравнения Блоха

Во вращающейся системе координат к dMн добавляется еще вектор приращения, обусловленный вращением
Уравнения Блоха

Знак этого приращения dMR определяется направлением вращения (вектор dMR перпендикулярен векторам M и ω'). Обычно рассматривают случай, когда y ≥ 0, тогда для направления вращения, при котором векторы ω' и H0 антипараллельны, общее приращение вектора M будет
Уравнения Блоха

где еz — единичный вектор, направленный вдоль оси oz. Из (1.82) видно, что во вращающейся системе координат на вектор M действует магнитное поле, ориентированное вдоль оси oz, напряженность которого Hz' = H0 - ω'/у.
Для рассмотрения взаимодействия намагниченности M с переменным магнитным полем H1, поляризованным по кругу, будем считать, что это поле всегда ориентировано вдоль оси ох, т. е. что ω' = ω. Поскольку во вращающейся системе координат существуют два взаимно перпендикулярных магнитных поля Hz' и Н1х, то вектор M будет взаимодействовать с эффективным магнитным полем (рис. 1.14), которое равно
H'эф = Hz' + H1x'.

В результате этого взаимодействия, как уже было показано ранее, вектор M будет совершать прецессионное движение вокруг Н'эф по поверхности конуса с частотой ω = уНэф, которое вызывает изменение угла θ. Такое нутационное движение, как нетрудно видеть из рис. 1.14, будет вызывать изменение угла θ тем в большей степени, чем меньше поле Hz', т. е. чем меньше расстройка Δω = ω0 - ω, так как
Уравнения Блоха

Из этого следует и то, что вынуждающее воздействие переменного поля H1 носит резонансный характер: максимальное воздействие при Δω = 0 и минимальное при больших Δω, когда Hz' ≥ Н1x'.
Уравнения Блоха

Наконец, четвертый самый общий случай, когда на спиновую систему воздействуют постоянное H0 и переменное Hx = 2Нcosωt магнитные поля. Поскольку, как уже неоднократно отмечалось, на вектор M воздействует одно из вращающихся магнитных полей, из которых складывается осциллирующее поле Hx, то поведение ядерной намагниченности M в данном случае удобнее рассмотреть во вращающейся системе координат х'у'z'. В этой системе координат вводят обозначения
Уравнения Блоха

Во вращающейся системе координат действуют следующие магнитные поля:
Уравнения Блоха

Подставив (1.84) и (1.85) в (1.77)—(1.79) и несколько преобразовав, получим систему уравнений Блоха во вращающейся системе координат
Уравнения Блоха

Переход от компонент ядерной намагниченности u, v к Mx и Mv можно сделать по формулам
Уравнения Блоха

Решая уравнения Блоха (1.86)-(1.88), можно получить выражения для u, v и Mz в виде функций от ряда параметров: Δω, H0, H1,T1 и T2, которые определяются условиями эксперимента или свойствами исследуемого вещества. Таким образом, устанавливая определенные условия эксперимента (H0=const; H0=const и H1=const), можно получать u- и y-компоненты, которые будут зависеть лишь от T1 и T2, т. е. лишь от физикохимических свойств вещества. Позже будет показано, что при помощи спиновых детекторов можно получить сигналы ЯМР, однозначно соответствующие u- или v-компонентам ядерной намагниченности. Параметры этих сигналов (резонансные частоты, интенсивности линий и т. п.) несут в себе информацию о структуре и внутреннем движении вещества, а также о происходящих в нем межмолекулярных взаимодействиях.
Ранее отмечалось, что в постоянном магнитном поле возникает статическая ядерная намагниченность M0, которой соответствует статическая восприимчивость. В рассматриваемом общем случае на ядерную систему воздействует не только постоянное H0, но и переменное Hх магнитные поля.
Из теории магнитного гистерезиса следует, что при наличии разности фаз между магнитным полем и намагниченностью происходит поглощение энергии поля, причем мощность, поглощаемая единицей объема образца, определяется по формуле (1.61). В рассматриваемом случае переменное поле ориентировано по оси ох, т.е. Hх = 2H1 cosωt (Hy = 0 и Hz = 0), и поэтому в формулу (1.61) необходимо подставить значения Hx = 2H1cosωt и Mx, определяемое по формуле (1.89). После несложных преобразований можно получить
Уравнения Блоха

Поскольку в выражении для Mx (см. (1.89)) содержится член и sinωt, сдвинутый относительно магнитного поля Hx на п/2, то с компонентой Mx переменной намагниченности надо связывать комплексную динамическую ядерную восприимчивость
Уравнения Блоха

Используя также комплексное выражение для Hx, получим
Уравнения Блоха

отсюда вещественная х-компонента ядерной намагниченности будет
Уравнения Блоха

Сравнивая (1.93) с (1.89), можно написать
Уравнения Блоха

Эти выражения справедливы для y ≥ 0. В общем случае значение x'' следует определять по формуле
Уравнения Блоха

Учитывая (1.95), выражение для энергии, поглощаемой единицей объема вещества в единицу времени, можно записать в виде
Уравнения Блоха

Отсюда следует, что v-компонента ядерной намагниченности и связанная с ней x'' определяют энергию, поглощаемую ядерной спиновой системой из радиочастотного поля; они же обусловливают и сигнал поглощения (рис. 1.15, кривая 1).
Вещественная часть динамической ядерной восприимчивости х' и u-компонента вектора M обусловливают сигнал дисперсии (рис. 1.15, кривая 2).
Компоненту u ядерной намагниченности связывают с дисперсией, потому что она зависит от частоты, а следовательно, от частоты будут зависеть и вещественная часть динамической восприимчивости х' и магнитная проницаемость μ=1+4пх', и коэффициент преломления n=√εμ.
Уравнения Блоха