Ядерные и электронные моменты

05.09.2015

Основными характеристиками ядер и электронов, с помощью которых можно объяснить многие взаимодействия этих частиц с окружающей средой, являются заряд и масса. Эти характеристики являются точечными, так как большинство свойств атома и молекулы можно объяснить правильно, если считать, что заряд и масса ядра или электрона сосредоточены внутри частицы в одной точке. Для объяснения более тонких взаимодействий, вызывающих, например, тонкое или сверхтонкое расщепление в атомных спектрах, были введены дополнительно некоторые характеристики, связанные уже с конечными размерами микрочастиц, их вращением, элементарными зарядами и анизотропией в распределении этих зарядов и т. п. К таким характеристикам относятся, например, собственные моменты количества движения — спины — и магнитные дипольные моменты электрона и ядер, а также электрические квадрупольные моменты последних.
Спин — внутренний момент количества движения микрочастиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого.
В дальнейшем при изложении физических основ различных методов квантовой радиофизики все эти характеристики будут иметь первостепенное значение.
Момент количества движения. Понятие собственного момента движения электрона (спина электрона) впервые было введено Дж. Уленбеком и С. Гудсмитом для объяснения тонкой структуры оптических спектров. Абсолютная величина этого момента Р*е определена как
Ядерные и электронные моменты

где h — постоянная Планка (h = 6,626*10в-27 эрг/с (626*10в-34 Дж/с)), а S — спиновое квантовое число, равное 1/2, иногда называемое спином электрона.
Позже для объяснения сверхтонкого взаимодействия в оптических спектрах аналогичным образом Паули ввел понятие спина ядра. К настоящему времени установлено, что собственным моментом количества движения обладают большинство ядер. Абсолютная величина этого момента Р* ко аналогии с (1.1) выражается следующим образом:
Ядерные и электронные моменты

где h = h/2п, а I — спиновое квантовое число, которое иногда называют также спином ядра. Спин ядра I является неизменной, в высшей степени стабильной характеристикой изотопа. Для разных стабильных ядер I принимает целые или полуцелые значения от I = 0, 1/2, 1 до I = 6 (спин 50V). Для искусственных нестабильных изотопов значение I может быть и больше 6. Установлено, что I = 0 для ядер, у которых число протонов Z и число нейтронов N являются четными (например, 12/6С, 16/8O, 32/16S). Если же хотя бы одно из чисел Z или N является нечетным, то спин такого ядра отличен от нуля (I ≠ 0). При этом известно, что I принимает целочисленные значения для ядер с четным числом нуклонов (Z+N) и полуцелые — с нечетным числом нуклонов.
Если момент количества движения ядра Р* находится в поле осевой симметрии, то в результате взаимодействия с последним он совершает прецессионное движение вокруг направления поля. При этом в соответствии с представлениями квантовой механики абсолютная величина вектора |Р*| сохраняется неизменной, а его проекция на направление осесимметричного поля р. принимает ряд дискретных значений
Ядерные и электронные моменты

где m — магнитное квантовое число, принимающее для ядер 2I+1 (значений m=1, I— 1, ..., —I), а для электрона — всего два значения m=±1/2. Максимальную величину Pz, которая достигается при m = I, часто называют собственным механическим моментом
Ядерные и электронные моменты

Аналогичным образом за спин электрона принимается
Ядерные и электронные моменты

В соответствии с основными положениями квантовой механики все три проекции момента количества движения Px, Py и Pz не могут быть определенными. Поскольку Pz принимает 2I+1 конкретных значений, то Px и Py должны оставаться неопределенными; они не могут быть даже равны нулю. А это значит, что всегда выполняется условие |Р|<|Р*|. Более точно связь между спином ядра P и Р* можно записать на основе формул (1.2) и (1.4) в виде
Ядерные и электронные моменты

Механический момент атома или иона складывается из собственных моментов количества движения электронов и их азимутальных моментов. Квантовое число J = L+S (где L и S — квантовые числа азимутального и собственного моментов количества движения электрона) этого полного электронного момента количества движения атома или иона зависит от состояния электронной оболочки. При этом в отличие от ядерных и электронного спинов оно не может сохранить свое значение постоянным.
Магнитный момент и гиромагнитное отношение. Если воспользоваться наглядными классическими представлениями, то любую заряженную микрочастицу, обладающую вращательным моментом количества движения, приблизительно можно представить в виде одного или нескольких зарядов, движущихся по замкнутым траекториям. Каждый из таких циркулирующих зарядов подобно электрическому току, протекающему по замкнутому контуру, обладает элементарным магнитным моментом μj, величина которого определяется током i, создаваемым зарядом Ej при движении со скоростью Vj по контуру с радиусом Rj и площадью Sj
Ядерные и электронные моменты

где с — скорость света*. Магнитные моменты таких многозарядных частиц, как ядра, определяются суммой элементарных моментов μj. Из (1.7) следует, что знак магнитного момента частицы определяется знаком ее заряда. Если μ≥0, то магнитный момент ориентирован в одну сторону с моментом количества движения (μ↑ ↑ P), а если же μ<0 — моменты μ, и P ориентированы в противоположных направлениях (μ↑ Р).
Для рассматриваемой классической модели момент количества движения P=MVR (где M — масса частицы, движущейся со скоростью V по контуру с радиусом R). Следовательно, моменты P и μ аналогичным образом зависят от параметров V и R. Чтобы не вводить в расчетные формулы эти параметры, физический смысл которых не всегда понятен, вместо моментов μ и P используют гиромагнитное отношение у=μ/P, которое не зависит от V и R. Тогда с учетом (1.7) оно определяется по формуле
Ядерные и электронные моменты

Магнитный момент микрочастицы жестко связан с ее моментом количества движения (параллелен или антипараллеленему) и в поле осевой симметрии участвует вместе с ним в прецессионном движении. Абсолютная величина магнитного момента электрона, атома или иона определяется по формуле
Ядерные и электронные моменты

где g — множитель, называемый g-фактором; μв — магнетон Бора и А — квантовое число, соответствующее моменту количества движения Р*. Магнетон Бора определяется зарядом и массой электрона
Ядерные и электронные моменты

Для свободного электрона в формулу (1.9) вместо А надо подставить спиновое квантовое число S, а вместо g — множитель два.
Магнитный момент изолированного атома обусловлен как орбитальным движением электронов, так и их вращением вокруг собственной оси, т. е. он обусловлен азимутальным L и спиновым S моментами количества движения. Поэтому в формуле (1.9) квантовое число А имеет смысл квантового числа I полного момента количества движения I = L + S, а g'-фактор (множитель Ланде) вычисляется по формуле
Ядерные и электронные моменты

где I, S и L — квантовые числа соответствующих моментов количества движения.
Абсолютная величина магнитного момента ядра также может определяться по формуле (1.9), однако для этого в (1.9) необходимо заменить А на спин ядра I, g — на ядерный g-фактор (gN), смысл которого поясняется ниже, а μв — на ядерный магнетон μN, определяемый как
Ядерные и электронные моменты

где е — абсолютная величина заряда, a Mp — масса протона.
Так же как и Pz, проекция магнитного момента принимает ряд дискретных значений, соответствующих разным значениям магнитного квантового числа т
Ядерные и электронные моменты

Максимальную величину проекции μz называют магнитным моментом микрочастицы μ=μmax. Значения магнитных моментов для электрона и ядра находятся по формулам:
Ядерные и электронные моменты

На основе этих формул с учетом (1.9) можно установить связь между μ и μ*. Для ядра, например, можно записать
Ядерные и электронные моменты

Выше уже отмечалось, что в ряде случаев для характеристики магнитных свойств ядра и электрона удобнее использовать гиромагнитное отношение γ=μ/Р. Значение гиромагнитного отношения свободного электрона легко получить, если воспользоваться формулами (1.5), (1.14) и (1.10) и учесть, что Для электрона S=1/2, a g=2 (так как в данном случае в формуле (1.11) L = 0, a I = S = 1/2)
Ядерные и электронные моменты

Ядерные и электронные моменты

Ядерные и электронные моменты

Ядерные и электронные моменты

Для ядер гиромагнитное отношение в принципе может быть получено в соответствии с классической формулой (1.8). Однако для учета специфики магнитных свойств ядер разного сорта в эту формулу следует ввести множитель gN — ядерный g-фактор, имеющий разные значения для разных ядер. Поэтому гиромагнитное отношение любого ядра может быть определено по формуле
Ядерные и электронные моменты

Ядерный g-фактор определяется магнитным моментом и спином данного ядра
Ядерные и электронные моменты

Если магнитный момент ядра измерять в ядерных магнетонах (μ' = μ/μN), то gN представляет собой отношение такого магнитного момента к спину ядра
Ядерные и электронные моменты

В связи с этим gN иногда называют также ядерным гиромагнитным отношением.
Значения рассмотренных выше характеристик ядра: спинов I, магнитных моментов μ, гиромагнитных отношений γ, ядерных g-факторов gN для основных ядер приведены в табл. 1.1.
В заключение следует отметить, что поскольку масса протона в 1836 раз больше массы электрона, то магнитный момент электрона приблизительно в 1000 раз больше магнитного момента протона. Столь же значительна и разница в гиромагнитных отношениях электрона и ядер. Благодаря этому все магнитные взаимодействия, происходящие с участием электронных магнитных моментов, значительно больше тех, которые обусловлены магнитными моментами ядер.
Квадрупольный момент ядра. В отличие от электронов ядра представляют собой более сложные микрочастицы, характеризующиеся значительно большими размерами и во многих случаях неравномерным распределением зарядов внутри ядра. Лишь у ядер со сферической симметрией (ядра со спинами I=0) электрические свойства могут характеризоваться точечным зарядом, сосредоточенным в центре ядра. Ядра, обладающие спином I≥1/2, сферической симметрии не имеют; они проявляют себя как системы, обладающие центром инверсии. В связи с этим электрические дипольные моменты у них отсутствуют. Квадрупольными же моментами ядра могут обладать в том случае, если электронная плотность у них характеризуется анизотропным распределением. Именно такое распределение зарядов и имеет место у ядер с I≥1/2. Плотность зарядов внутри таких ядер имеет анизотропию, соответствующую эллипсоиду вращения р (r, z) (рис. 1.1).
Ядерные и электронные моменты

В декартовой системе координат (х, у, z) с началом в центре ядра распределение зарядов е характеризуется тензором второго ранга
Ядерные и электронные моменты

Здесь р (xyz) — плотность зарядов внутри ядра, а V — объем, в котором заряд отличен от нуля.
Если этот тензор соответствует эллипсоиду вращения с осью вращения oz, направленной вдоль ядерных моментов Р* и μ*, то все оси такого эллипсоида ox, oy и oz являются главными осями (с порядком С2), а поэтому все недиагональные члены тензора (1.20) будут равны нулю. Поскольку же среди главных осей имеется ось oz с симметрией С∞, то два диагональные члена будут равны между собой
eQxx* = eQyy*.

В случае сферической симметрии в распределении зарядов все три диагональные члена тензора (1.20) равны между собой.
Квадрупольный момент ядра eQ* является мерой, которая характеризует отклонение от сферической симметрии в распределении плотности зарядов внутри ядра. В соответствии с таким определением квадрупольного момента его абсолютная величина eQ* выражается формулой
Ядерные и электронные моменты

Величина eQ* = eQсф*, — eQэл*, где eQэл* соответствует эллиптическому, a eQcф* — сферическому распределению зарядов данного ядра (еQсф* = 3eQzz* и eQэл* = eQzz* + 2eQxx*). Подставив в (1.23) значения диагональных членов в соответствии с (1.21), получим
Ядерные и электронные моменты

где r2 = (x2+y2+z2) — квадрат расстояния точки до начала координат. Собственный квадрупольный момент eQ* соответствует эллипсоиду вращения, ось которого жестко связана с ядерными моментами μ* и Р* и участвует вместе с ними в прецессионном движении вокруг направления поля взаимодействия (в данном случае — направления градиента электрического поля). Поэтому, учитывая соображения, по которым введены понятия ядерных моментов P и μ, в качестве квадрупольного момента ядра eQ принято считать значение eQ*, усредненное по квантовому состоянию m=1. Связь между eQ и eQ* устанавливается по формуле
Ядерные и электронные моменты

Из (1.25), в частности, следует, что для ядер с I=1/2 квадрупольный момент eQ, определяющий все квадрупольные взаимодействия, будет равен нулю (даже если еQ* ≠ 0). Если же I = 0, то ядро обладает сферической симметрией и eQ* = 0 по определению.
В ряде случаев для удобства квадрупольный момент ядра выражают в единицах площади (в см2), определяя его по формуле
Ядерные и электронные моменты

За единицу измерения Q в этом случае принимают величину 10в-24 см2, приблизительно равную площади сечения ядра. Выраженные в этих единицах квадрупольные моменты разных ядер принимают значения от —1,5 (для 123Sb) до +6,0 (для 181Ta). Положительные значения Q соответствуют вытянутому эллипсоиду вращения, а отрицательные — сплюснутому (оси эллипсоидов, как уже отмечалось, направлены вдоль Р* и μ*). Квадрупольные моменты некоторых ядер приведены в табл. 1.1.