Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

15.08.2015

Когда мы наблюдаем объект сквозь полимерный образец, прохождение через него света сопровождается рядом процессов. Если образец имеет идеально гладкие входную и выходную поверхности, а его объем идеально однороден и флуктуации показателя преломления отсутствуют, то закон, управляющий отражением и преломлением света, определяется через уравнения Френеля. Любой луч света пересекающий такую среду, будет испытывать фазовые изменения, которые в отсутствие дифракционных эффектов определяются законами отражения или преломления, и сформированное изображение будет зависеть от показателя преломления среды и ее геометрической формы. Для упрощения рассмотрения мы везде в этой главе будем иметь дело с простой геометрией полимерных образцов, то есть с бесконечной пластиной с параллельными входной и выходной поверхностями. Также примем, что дифракцией на границах можно пренебречь.
Имеется два источника возникновения диффузного света, когда мы освещаем светопроницаемый пластик. Один из них лежит в объеме, где при прохождении пучка света через неоднородную среду имеет место процесс множественного рассеяния, а другой связан с рассеянием света на неровностях поверхности. Падающий луч частично рассеивается во всех направлениях, и только часть света проходит или отражается в направлениях, обусловленных законами отражения и преломления. Мы будем называть эту долю прошедшего или отраженного света «когерентной компонентной» ввиду ее предсказуемой и постоянной фазы относительно падающего пучка. Поле рассеяния, создаваемое неровностями поверхности или множественными актами рассеяния в объеме, обычно называется диффузной или некогерентной компонентой ввиду широкого угла распространения и отсутствия фазовой связи с полем падающего луча.
Рассмотрим коллимированный падающий пучок, направленный перпендикулярно входной поверхности. В этом случае неотклоненный прошедший или зеркально отраженный свет относится к когерентной компоненте. Когерентное поле падающего света частично превращается за счет рассеяния в диффузное поле или поглощается и превращается в тепло.
Чтобы понять, как микроструктура многофазного полимерного образца влияет на его внешний вид, важно построить определенные концепции, которые свяжут пропускание или отражение с внутренней структурой материала. С этой целью мы разделим наше обсуждение на две части. Сначала мы примем во внимание только неоднородную природу объема, предполагая, что поверхности гладкие, а затем обратимся к проблеме внешнего вида, учитывая рассеяние от неровной поверхности.
Для визуализации взаимодействия света с оптически случайно-неоднородной средой можно допустить, что фотоны диффузно распространяются по случайным направлениям. Как мы увидим, эта модель хорошо устанавливается как на теоретический, так и на экспериментальный фундаменты, если число актов взаимодействия велико. Средняя длина свободного пробега А равна (по аналогии с подходом в кинетической теории газов) [/(NCext), где N — число неоднородностей (например, частиц) на единицу объема, a Cext — сечение экстинкции неоднородности (например, домена, частицы и т. д.), которое является мерой полной потери света в падающем пучке вследствие рассеяния и поглощения отдельной неоднородностью. Cext можно записать как сумму вкладов рассеяния и поглощения:
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

где Csca и Cabs — сечения рассеяния и поглощения.
Вероятность того, что фотон будет рассеян или поглощен на своем пути через слой dl, равна dl/Λ. С другой стороны, мы примем, что коллимированный пучок интенсивностью I при пересечении слоя dl теряет в интенсивности пропускания dl поэтому вероятность того, что фотон будет рассеян или поглощен составляет dl/I Следовательно
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

Отсюда на глубине l конечная интенсивность неотклоненного пучка будет
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

где I0 — интенсивность падающего света.
После подстановки величины Λ = (NCext)-1 в уравнении (28.3) мы приходим к хорошо известному закону Ламберта-Беера для когерентного пропускания. Он показывает, что вероятность того, что фотон не отклонится от своего пути сквозь материал на расстоянии l равна ехр(-l/Λ). Λ дает расстояние, на котором мы потеряем 1/е от падающей когерентной компоненты. Это соотношение предполагает, что пластик должен быть тоньше, чем Λ, чтобы сформировалось изображение с высоким разрешением. Поэтому все явления рассеяния, ограничивающие идеальную прозрачность, например, мутность или отсутствие четкости, обусловлены, в основном актами одиночного рассеяния. Мутность связана с потерей контраста, тогда как четкость отражает способность образца пропускать тонкие детали. А зависит от размера неоднородностей, от их показателя преломления и объемной доли.
На рис. 28.1 показана величина Λ, рассчитанная по теории Ми, в зависимости от размера частиц для сферических включений при трех показателях преломления. Первый показатель относится к частицам каучука, второй — к пузырькам воздуха, а третий — к TiO2, который является сильно рассеивающим свет веществом. Все эти частицы находятся в полистирольной матрице с объемной долей Ф 10%. Чтобы сделать поправку на концентрационные эффекты, мы применим процедуру Гейта и примем, что показатель преломления среды — это показатель преломления композитного материала ПС плюс частицы, причем воспользуемся правилом объемного смешения фракций. Для частиц TiO2 Λ резко падает с размером частиц до своего минимального значения при диаметре частиц D, равном приблизительно 0,6λ. В случае более крупных частиц Λ стремится к асимптотическому значению, близкому Λ = 3D. При приближении показателя преломления диспергированной фазы к показателю преломления матрицы уменьшение Λс размером частиц становится не столь резким. Например, для пузырьков воздуха в ПС минимум Λ находится при D = λ, и он примерно в четыре раза больше, чем соответствующее минимальное значение Λ для TiO2. Для частиц ПБ в ПС минимальное значение Λ соответствует диаметру частиц примерно 3,5 мкм, что уже находится в зоне асимптотики для TiO2, где Λ = 3D. При этой концентрации длина свободного пробега для малых частиц ПБ, скажем 0,2 мкм, составляет порядка 145 мкм, а пленка толщиной менее этого значения должна выглядеть достаточно прозрачной, поскольку большая часть падающего пучка останется неотклоненной. С другой стороны, для TiO2 с таким же размером частиц Λ равна лишь 0,52 мкм; поэтому в пленке толщиной 145 мкм будет в среднем около 280 актов рассеяния и свет, в конечном счете, будет диффузным. Фактически, прошедший свет теряет память о зависимости от угла падения падающего света примерно после 20 последовательных актов рассеяния.
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

Если фазы не согласованы по показателю преломления, то число актов рассеяния в многофазных материалах достаточно велико для обычной толщины изделий из пластиков. Если это так, то, как говорилось выше, прохождение света через многофазную рассеивающую среду является диффузным процессом.
Если частицы или домены одного порядка или их размер превышает длину волны света, то рассеяние будет анизотропным, что иллюстрируется рис. 28.2, где показан рисунок рассеяния света на частицах ПБ в среде ПС. Поскольку рис. 28.2 приведен для радиусов частиц 0,25 мкм и 0,5 мкм и для длины волны (в вакууме) = 0,5 мкм, отношения между интенсивностями рассеяния вперед и назад составляют 1,122 и 20,592 соответственно.
Анизотропия рассеяния вводит корреляцию между направлениями до и после рассеяния. Расширенное представление этой корреляции — так называемое среднее расстояние свободного переноса Λeff — эквивалентно персистентной длине в теории полимерных конформаций. То есть по мере того, как фотон движется через многократно рассеивающую среду, он перемещается шагами со средней длиной Λ, что схематически показано на рис. 28.3. Λeff - средняя сумма проекций начального направления. Если рассеяние происходит на неоднородностях цилиндрической симметрии, то набор путей фотонов будет эквивалентен конформациям для свободно вращающейся цепи. В этом случае для большого числа шагов Λeff можно приближенно представить в асимптотическом виде:
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

где Λ(cos θ)j - средняя проекция j-го шага на начальное направление распространения.
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

После расстояния, равного Λeff, направления до и после рассеяния становятся скоррелированными. Поэтому в случае анизотропного рассеяния траектории фотонов приобретают статистические свойства случайного блуждания, при котором -элементарный шаг перенормирован на Λeff.
Для малых частиц, то есть таких, для которых R ≪ λ, (R — радиус частицы), причем N=R-3, поэтому NCext = R3. Однако для частиц малого радиуса рассеяние изотропно, поэтому величина (1 - cos θ) близка к единице. Это означает, что начальный наклон зависимости lg Λeff от lg R должен быть равен примерно -3. Для Vaee крупных частиц (1 - cos θ)-1 начинает расти, и когда R ≫ λ, она осциллирует вокруг постоянного плато (рис. 28.4). Также Cext осциллирует вокруг lnR2 при R ≫ λ. Поэтому в данном пределе Λeff должна расти линейно с ростом R. Это асимпатическое поведение показано на рис. 28.5, где построена зависимость Λeff от размета частиц для сферических рассеивателей, о которых шла речь выше (рис. 28.1), при иной и той же объемной доле Ф = 0,1. В интервале вокруг R = λ имеется конкуренция между эффективностью рассеяния и анизотропией рассеяния.
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

При R ≪ λ Λeff велика, потому что сечения рассеяния очень малы. А это подразумевает, что значительная часть падающего света остается неотклоненной и материал почти полностью прозрачен. Напротив, при R ≫ λ сечение рассеяния весьма велико, но большая часть рассеянного света идет в прямом направлении и Λeff также может стать большой. Таким образом, в последнем случае материал будет пропускать значительную долю падающего света, хотя разрешение изображения будет ограничено. Наконец, при R = λ/2 сечение рассеяния достаточно велико, а анизотропия рассеяния умеренная и Λeff минимальная, что ведет к заметному уменьшению пропускания. Это означает, что при рассмотрении рассеяния в объеме имеются два важных параметра: Λ и Λeff. Первый из них определяет долю падающего пучка которая рассеивается когерентно и таким образом определяет прозрачность. Второй определяет, насколько материал рассеивающий. Все остальные параметры, такие как размер и морфология неоднородностей, показатели преломления и т. д. влияют на вклад рассеяния в пропускание через Λ и Λeff. Когда среда поглощает или когда имеются поглощающие частицы пигмента, важную роль играет поглощение. Как мы увидим далее, простые теории, которые применялись в исследованиях прохождения диффузного света в оптически неоднородном материале, например, теория двух потоков Кубелки-Мунка, включают эмпирические параметры, которые можно выразить через Λ и Λeff и поглощающие свойства среды.
До этого места мы обсуждали влияние на пропускание только объемного рассеяния. Однако, как уже говорилось выше, потери в пропускании возникают также из-за неровностей поверхности. Во многих многофазных пластиках, таких как полиэтиленовые пленки, полученные экструзией с раздувом, вклад поверхности в рассеивание доминирует над вкладом от рассеяния в объеме. С другой стороны, неровность поверхности непрозрачных полимерных материалов определяет такие свойства, как блеск. Если поверхность гладкая, то свет рассеивается преимущественно в зеркальном направлении, что схематически показано на рис. 28.6, а. При увеличении площади освещения дифракционными эффектами можно пренебречь и свет будет рассеиваться только в зеркальном направлении. Поле зеркально отраженного света называется когерентным полем. Если поверхность неровная, то часть падающего пучка будет рассеиваться во всех направлениях, уменьшая при этом зеркальную компоненту, что схематически показано на рис. 28.6, b. Наконец, при очень грубой поверхности весь коллимированный падающий поток становится после отражения диффузным.
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

Диффузная компонента, отраженная от грубой поверхности (или прошедшая через нее), создает интерференцию вследствие изменения фазы при отражении света от поверхности. Чтобы проиллюстрировать это положение, рассмотрим падение двух параллельных пучков под углом θ1 относительно нормали к поверхности (рис. 28.7). Их разность фаз:
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

где k = 2п/λ — абсолютная величина волнового вектора; h и x — высоты и горизонтальные положения рельефа (рис. 28.7); θ2 — угол рассеяния.
В направлении зеркального отражения (θ1 = θ2) разность фаз зависит только от разности высот, то есть
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

Теперь изобразим поле рассеяния как результат интерференции между различными вторичными волнами, отходящими от поверхности рассеяния. Для идеально гладкой поверхности различие фаз возникает исключительно благодаря различию в положениях вдоль поверхности (х1 * х2). Однако в направлении зеркального отражения Δφ = 0, и все эти волны позитивно интерферируют, увеличивая силу поля зеркального рассеяния. В предположении бесконечной площади освещенного поля для любого другого направления имеет место гасящая интерференция, поскольку х1 - х2 ≫ λ/2. Если поверхность неровная, то разность фаз в направлении зеркального отражения рассчитывается по уравнению (28.6), и вдоль этого направления имеется некоторая гасящая интерференция, которая уменьшает амплитуду поля когерентного рассеяния. При гауссовом распределении высот отношение между интенсивностью когерентно отраженного света и интенсивностью света, отраженного от гладкой поверхности того же самого материала, составит:
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

где gs = (4πσ * cos θ1/λ)2; Rf — отражение от гладкой поверхности, определяемое по формулам Френеля; σ — среднеквадратичное значение высоты, определяемое как
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

где за плоскость отсчета принята плоскость h = 0,
Для углов рассеяния, отличных от зеркального, фаза изменяется случайным образом от 0 до 2π, и между падающей и рассеянной волнами фазовые соотношения отсутствуют. Изменение фазы определяется профилем поверхности, и рассеяние света в незеркальном направлении зависит от распределения высот и боковой корреляции между высотами; последнюю представляет автокорреляционная функция высот:
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

которая является нормированной автоковариантной функцией. Как мы будем говорить ниже, по-видимому, большая часть поверхностей имеет корреляционную функцию высот, убывающую по экспоненте C(r) = ехр(-r/Lc), где Lc — длина корреляции, определяемая как боковое расстояние, на котором корреляционная функция между высотами убывает в е раз. Можно сказать, что в большинстве случаев корреляционная длина дает меру среднего распространения «выступов и впадин» на неровной поверхности.
Чтобы проиллюстрировать эвристическое определение, на рис. 28.8, а показаны две математически генерированные случайные поверхности с экспоненциальной корреляционной функцией и одинаковой гауссовой функцией распределением высот (то есть одинаковым σ), но с различными длинами корреляции. Очевидно, что при увеличении Lc протяженность неровностей также возрастает. Это показывает, что Lc сильно влияет на угловое распределение света, рассеянного вокруг зеркального направления. На рис. 28.8, b построен профиль рассеяния диффузной компоненты вокруг направления зеркального отражения для двух поверхностей, показанных на рис. 28.8, а. При увеличении Lc/λ диффузный профиль концентрируется вокруг зеркального направления и, следовательно, Lc, как и σ, влияет на разрешение изображения и замутненность.
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

Такое же рассмотрение можно провести относительно прохождения света через неровную поверхность, за исключением того, что разность фаз при пропускании намного меньше, чем при отражении, и поэтому доля когерентного света в пропускании намного больше, чем в отражении.
С чисто эвристической точки зрения σ/Lc в определенном смысле представляет своего рода средний наклон неровностей поверхности: чем более пологи эти неровности, тем больше света они «отражают» в больших углах, и при увеличении гладкости свет рассеивается ближе к зеркальному направлению, что схематически показано на рис. 28.9.
Основные положения прохождения и отражения света в многофазной среде

Как и при рассеянии в случайно-неоднородной среде, основные свойства света, рассеянного на неровной поверхности, определяются двумя параметрами: σ/λ и Lc/λ. Первый параметр определяет, насколько «сильно» поверхность рассеивает, а второй параметр влияет на степень анизотропии света, рассеянного в одном направлении, так как Δ и Δeff влияют на пропускание в случайно-неоднородной среде. При обсуждении проблемы блеска мы увидим, что эта корреляция играет важную роль.