Аналитические методы определения квазиупругих механических свойств

13.08.2015

Для описания общих упругих свойств мультифазных материалов и распределений напряжений в них предложено множество теоретических моделей. Некоторые методы анализа и основные допущения, лежащие в их основе, представлены в этом разделе.
Классическая механика

Распределения напряжений в матрице вокруг изолированного сферического или цилиндрического включения в виде полости или линейно-упругого материала впервые были получены Гудьером. Позже для нахождения распределения напряжений вокруг жестких или упругих сфер или эллипсоидов, внедренных в бесконечную упругую матрицу, использовался самосогласованный подход, основанный на теории упругости. Теория Эшелби была обобщена на включение взаимодействий частиц наполнителя, а Чоу получил выражения для упругих постоянных. Идентичные уравнения для материалов, содержащих сферические частицы, были независимо получены Кернером. Эти аналитические выражения основаны на моделях композита как ансамбля элементов, каждый из которых представляет собой сферическую частицу наполнителя, внедренную в сферическую оболочку матрицы, которая в свою очередь окружена бесконечной матрицей из материала, обладающего свойствами «композита». Таким образом, существенной деталью этого самосогласованного подхода является пренебрежение взаимодействием между частицами.
Последующие подходы, в которых накладываются ограничения на модули упругости, основаны на определении моментов первого порядка случайных полей напряжения и деформации в неоднородном твердом теле. Точные поля напряжений вокруг неоднородностей можно найти в виде аналитических решений только в случаях, позволяющих определить регулярные элементарные ячейки. Эти «классические» аналитические методы основаны на допущении определенной элементарной ячейки, окружающей каждую частицу наполнителя. Ограничения обычно возникают из-за задания условия одинакового напряжения или одинаковой деформации внутри всех элементарных ячеек. Такие подходы хорошо известны в анализе композитов из сплошных волокон, в котором эти простые усреднения используются для предсказания величин продольной и поперечной жесткости всего композита. Они основаны на моделях последовательно или параллельно включенных пружин, в которых взаимодействиями между соседними волокнами пренебрегают.
Ограничения в некоторых из этих моделей весьма широкие. Пол устанавливал ограничения на объемный модуль и сдвиговой модуль, вводя колебательные принципы, и его анализ включал усреднение полей напряжений. Эти ограничения были улучшены Хашином и Штрикманом введением колебательного принципа. Такой подход основан на представлении об однородной стандартной среде, что позволяет дать стандартное определение величинам напряжения и деформации. Можно показать, что ограничения Пола связаны с предельными величинами поля пробного напряжения. Полный вывод ограничений Хашина и Штрикмана позже был выполнен Уиллисом.
Различные модели, которые развивали Ишаи и Коэн, ведут к наиболее узким ограничениям применительно к материалу, наполненному частицами. Рассматривались (кубические) частицы, регулярно расположенные, позволяющие обеспечить идеальную кубическую упаковку. Ограничения были получены только для величин модуля растяжения; боковые сжатия игнорировались, так что эти ограничения не включают все упругие свойства композитного материала. Взаимодействия между соседними частицами не полностью принимались во внимание. Эти ограничения сравниваются с экспериментальными величинами модулей растяжения наполненных полимеров, содержащих жесткие и мягкие частицы, ниже в настоящей главе.
Альтернативный теоретический подход основан на приближении эффективной среды. Такие подходы основываются на допущении о том, что вторая фаза занимает лишь незначительную долю объема композитного материала, так что суммарные различия упругих постоянных между отдельно материалом матрицы и композитом относительно невелики. Эффективные упругие постоянные затем можно рассчитать с помощью теории возмущений. Отсюда ясно, что эти методы применимы только к материалам, содержащим низкие концентрации второй фазы. Следующее допущение предполагает, что «длины связок», то есть расстояний между частицами являются независимыми переменными; другими словами, величина одного межчастичного расстояния не зависит от других таких расстояний. Это допущение, очевидно, не справедливо при наличии распределения частиц. Теория возмущений применялась для описания свойств материалов, наполненных частицами.
Анализ конечных элементов

Границы применимости упомянутых выше аналитических методов очевидны. Многие из этих границ преодолеваются путем использования численных методов. В последние годы анализ конечных элементов стал более доступным для неспециалистов благодаря распространению цифровых графических интерфейсов как для предварительной, так и для постериорной оценок, а также благодаря увеличению мощности «настольных» рабочих станций для обработки решений. Однако важно подчеркнуть, что увеличение доступности и повышение мощности компьютеров не обязательно коррелирует с увеличением точности полученных решений. Правильный выбор множества параметров, необходимых для анализа, включая анализируемую геометрию, тип элементов (в том числе состав и интегрируемость), плотность сетки, модель материала и граничные условия, остается, за исследователем. Этим список не исчерпывается, но число имеющихся параметров указывает на сложность, которую придется преодолеть, принимаясь за этот анализ.
Численные модели учитывают боковое сжатие; иначе говоря, можно получить величины коэффициента Пуассона. Полагая, что материал макроскопически изотропен, величины модуля сдвига G и объемного модуля К можно просто рассчитать из величин коэффициента Пуассона и модуля Юнга Е, воспользовавшись общеизвестными выражениями для изотропного упругого твердого тела:
Аналитические методы определения квазиупругих механических свойств

Значение полного описания упругих свойств наполненных полимеров становится все более важным по мере роста их приложений.
Выбор полной геометрии, которую необходимо анализировать, — это первый шаг при проведении любого численного анализа. Расчет всегда основан на анализе элементарной ячейки, представляющей общую структуру. Выбор элементарной ячейки зависит от выбранной модели материала, что обсуждается далее. Граничные условия, налагаемые на ячейку, отражают ее взаимодействия с соседними ячейками. Подобным образом, другие определения, касающиеся элементарной ячейки, — например, необходимы ли двумерные, трехмерные или асимметричные элементы — следуют непосредственно из определения элементарной ячейки. Более подробные детали, касающиеся элементов, используемых для построения сетки, такие как встраивание или состав, связанные с данной задачей, а также наиболее подходящая плотность сетки, выходят за рамки этой главы, но их обсуждение можно найти в других работах.
Также следует рассмотреть модели, выбранные для представления свойств различных компонентов. Поскольку эта глава сосредоточена на квазиупругих свойствах мультифазных материалов, материальные свойства рассматриваемых здесь моделей предполагают линейную упругость. Все виды анализа, проведенные «классическими» методами, описанными в предшествующих главах, основаны на линейноупругом поведении. Дальнейшее моделирование этих материалов методом конечных элементов может включать модели с более сложными свойствами, когда используются модели, учитывающие упаковку или новые модели, разработанные специально для данного объекта; некоторые результаты моделирования свойств материалов описаны в недавней работе.