Теория деформации и распада капель

12.08.2015

Эйнштейн вывел выражение для вязкости твердых сфер в разбавленной суспензии. Олдройд рассмотрел случай, в котором сферы жидкие. При изучении ньютоновских жидкостей, взвешенных в других жидкостях, Тэйлор заметил, что когда радиус капель достаточно велик или скорость деформации велика, капля распадается. Он вывел уравнения (16.1) и (16.2), из которых можно вычислить размер самой большой капли, существующей в жидкости, испытывающей деформацию с некоторой скоростью сдвига. Ключевыми факторами распада капель в этих уравнениях являются отношение вязкостей р (вязкость дисперсной фазы)/(вязкость матрицы); течение; капиллярное число Ca, которое является отношением деформирующего напряжения ηm*γ (произведение вязкости матрицы на скорость сдвига), создаваемого потоком и граничными силами σ/R, где σ — межфазное натяжение, a R — радиус капли. Эта работа была обобщена Коксом. Первое выведенное Тэйлором уравнение имеет вид:
Теория деформации и распада капель

Если Ca мало, граничные силы доминируют, и формируется стабильная форма капли. При превышении критического размера Cacrit капля становится неустойчивой и в конечном счете распадается. Тэйлор определил безразмерную группу E и развил следующее выражение для описания распада диспергированных частиц в ньютоновской системе в поле сдвигового течения:
Теория деформации и распада капель

Тэйлор показал, что при распаде кажущаяся деформация капли D, определенная ниже, имеет величину 0,5, где L — длина частицы, а В — ширина:
Теория деформации и распада капель

Теоретически при распаде капли Втакже имеет значение 0,5. Тэйлор продемонстрировал экспериментально, что для величин р от 0,1 до 1 распад капли происходит при D от 0,5 до 0,6. Уравнение (16.2) показывает, что отношение вязкостей, сдвиговое напряжение, диаметр капли и межфазное натяжение являются критическими переменными, контролирующими деформацию и распад капель в ньютоновской жидкости. Это уравнение, однако, не принимает в расчет коалесценцию. Тэйлор и Грейс (рис. 16.2) изучали два основных типа течения — однородный сдвиг (использовался аппарат с параллельными пластинами), и гиперболический (растягивающий) поток на четырехроликовом аппарате. Поле растягивающего потока оказалось гораздо более эффективным для распада капель, а диапазон предельного отношения вязкостей намного больше, чем при однородном сдвиге. На рис. 16.2 видно, что: а) капли стабильны, когда их число Ca меньше критической величины; б) деформация и распад капли легче всего происходят при р = 0,25—1 для сдвигового течения, а растягивающий поток; в) более эффективен для распада и диспергирования, чем сдвиговый поток.
Для ньютоновских капель в ньютоновской матрице в условиях сдвигового потока Карам и Беллингер и Тавгак обнаружили зависимость U-типа распада капель от величины отношения вязкостей, которая показывает, что имеются верхний и нижний пределы отношения вязкостей, вне которых распад не происходит. Карам и Беллингер указывали, что в однородном сдвиговом потоке распад капель происходит при 0,005 < р < 3,0. Тавгак называл область 0,0033 < р < 3,7. При большом значении отношений вязкостей вязкостные силы, которые разрывают каплю, не могут преодолеть граничные силы, удерживающие ее стабильной, в то время как при малом значении отношения вязкостей капля сильно деформируется, но не разрушается. Румшейдт и Мэсон, изучавшие ньютоновские жидкости, наблюдали различные типы деформации и распад сферических капель как в гиперболическом, так и в сдвиговом потоках. В сдвиговом потоке распад не наблюдался при р = 6,0. При р = 1 капля начинала резко растягиваться в цилиндр, в котором затем формировалась шейка в середине. Шейка истончалась до тех пор, пока не возникали две одинаковых дочерних капли и три сателлита. При р = 0,7 капли вытягиваются в длинные цилиндрические нити, которые затем распадаются на большое число мелких капелек. При малой величине отношения вязкостей (например, р = 2*10в-4) капля принимает сигмовидную форму, а мелкие капли стекают с кончиков; это называется «концевое стекание». Авторы выявили два режима деформации и распада при гиперболическом течении. Когда р ≥ 0,2, капля вытягивается в виде нити, которая распадается на мелкие капли. При р < 0,2 концы частиц вытягиваются в острия, с которых фрагменты дисперсной фазы уходят по механизму «концевого стекания».
Теория деформации и распада капель

Вышеупомянутое исследование Румшейдта и др. показывает, что за диспергирование одной жидкости в другой в значительной степени ответственны два основных механизма: один механизм — прямое разрушение или расщепление капель; другой — распад тонкой деформированной нити на ряд мелких капель. Последний эффект называется «капиллярной нестабильностью», и он часто наблюдается в переходных сдвиговых условиях или после прекращения течения (рис. 16.3). Рассмотрим капиллярную нестабильность подробно.
Поскольку сфера отвечает наименьшей площади поверхности для данного объема, межфазное натяжение между двумя жидкостями ведет к тому, что несферическая форма массы одной жидкости в среде другой жидкости будет нестабильной. Капиллярная нестабильность определяется как нестабильность цилиндрической жидкой нити, находящейся в другой жидкости. Лорд Рэлей первым предложил модель роста искажений в вязкой струе в воздухе. Затем Томотика распространил эту теорию на ньютоновскую жидкость и нашел, что время, необходимое для распада по механизму капиллярной нестабильности, зависит от таких параметров, как межфазное натяжение, отношение вязкостей и начальный диаметр нити. Цилиндрическая нить постепенно искажается по синусоидальному закону, но, в соответствии с теорией, искажения с длиной волны λ, превышающей исходную окружность нити, растут со временем по экспоненциальному закону, выраженному уравнением (16.4):
Теория деформации и распада капель

где уравнении α — амплитуда искажения за время t; α0 — начальная амплитуда; q — скорость роста этого искажения, определяемая как
Теория деформации и распада капель

где σ — межфазное натяжение; ηm — начальная сдвиговая вязкость матрицы; R0 -исходный радиус нити.
Функцию Ω можно рассчитать из оригинальных уравнений Томотики; она имеет конкретное значение для данного волнового числа, определяемого как X = 2ωR0/λ). и зависящего от отношений вязкостей двух жидкостей. Для данного отношения вязкостей — то есть отношения (вязкость нити)/(вязкость матрицы) — имеется длина волны, для которой рост амплитуды будет наибыстрейшим. По оценке Томотики. распад нити происходит при α = 0,8R0. Время распада tb оценивается с помощью следующего уравнения:
Теория деформации и распада капель

Стоун с сотр. наблюдали другой тип распада, называемый «концевым сжатием», который конкурирует с капиллярной нестабильностью. Концевое сжатие является формой однородного распада, при котором распад волокна начинается с концов нити. Этот тип распада, как оказалось, зависит от отношения вязкостей и начального отношения L/D вытянутой капли. Распад через концевое сжатие может приводить к распределению частиц по размерам.
Недавно в ряде исследований в общие модели, связанные с морфологией смесей, был введен эффект вязкоупругости. Шольц с сотр. и Грэблинг с сотр. в своих работах по изучению реологических свойств взамонерастворимых полимерных смесей в расплаве, показали, что выраженное проявление упругости благодаря межфазному натяжению эффективно на низкой частоте. Оказывается, что упругие свойства высоко чувствительны к морфологическому состоянию смесей. В случае полимерных смесей и в диапазоне низких концентраций, когда один компонент диспергирован в виде капель в матрице из другого компонента, модуль упругости выше, чем модуль матрицы в концевой зоне из-за деформации капель. Увеличение упругости наблюдается, только если начальная сдвиговая вязкость или комплексный модуль упругости дисперсной фазы ниже такового матрицы. При этих условиях можно воспользоваться теоретическими подходами для предсказания реологического поведения многофазной системы.
Палиерн развил модель, которая способна предсказывать линейное вязко-упругое поведение полимерных эмульсий, исходя из размера вязкоупругих капель, диспергированных в вязкоупругой матрице, и межфазного натяжения между компонентами. Комплексный модуль упругости эмульсии из вязкоупругих полидисперсных капель можно представить в выражениях комплексного модуля каждой отдельной фазы, межфазного натяжения и радиуса капель как
Теория деформации и распада капель

где G*b и G*m — комплексные модули смеси и матрицы; φi — объемная доля дисперсной фазы, относящаяся к частицам с радиусами RiHi(w) имеет вид:
Теория деформации и распада капель

где σ — межфазное натяжение между матрицей и включением; GI* — модуль сдвига включений.
Эта модель сводится к модели Олдройда, если компоненты ньютоновских жидкостей и капли имеют одинаковый размер. Приближение Палиерна было успешно применено для предсказания межфазного натяжения между несколькими полимерами.
Ли и Парк вывели определяющее уравнение для описания формирования морфологии во взамонерастворимых смесях. В их модели вместо использования подхода через деформацию одиночных капель было принято строение межфазной границы, площадь которой и ее анизотропия уравновешены благодаря конкуренции между течением и межфазным натяжением. Их модель применима к различным полям течения, а также различным объемным долям смесей, и, следовательно, учитывает эффекты коалесценции. Авторы провели успешное сравнение теоретических предсказаний динамического осциллирующего течения с экспериментами, проведенными на смесях ПС-ЛПЭНП. Недавно было проведено сравнение между моделями Палиерна и Ли и Парка. В других работах изучалось влияние вязкоупругости при условиях, аналогичных условиям переработки в расплаве, что будет рассмотрено в разделе III.C.