Проверка адекватности решения краевой задачи теплопереноса

09.07.2015

Достоверность результатов построенной методики, реализующей разработанный алгоритм решения нестационарных задач теплопереноса, проверим на решении задачи теплопроводности, имеющей аналитическое решение. Такой краевой задачей может служить одномерная задача теплопроводности с постоянными коэффициентами.
В качестве тестовой задачи рассмотрим задачу об определении температуры алюминиевого стержня длиной L с теплоизолированной боковой поверхностью, если один его конец (х = 0) поддерживается при заданной фиксированной температуре U0, а на другой конец (х = L) подается извне заданный постоянный тепловой поток q0. Начальная температура стержня описывается функцией f(х).
Проверка адекватности решения краевой задачи теплопереноса

Проверка адекватности решения краевой задачи теплопереноса

Аналитическое решение краевой задачи (3.6) имеет следующий вид:
Проверка адекватности решения краевой задачи теплопереноса

Условия модельной задачи, имеющей аналитическое решение, могут быть реализованы в разработанном методе решения, если положить постоянными значения теплопроводности, теплоемкости и плотности, задать исходное температурное поле в виде f(х), запретить фазовые переходы, плавление и химические превращения. В этом случае краевая задача, реализованная по разработанному алгоритму, будет эквивалентна тестовой краевой задаче (3.6).
Примем значения λ, р и с равными значениям теплопроводности, плотности и теплоемкости алюминия при комнатной температуре:
Проверка адекватности решения краевой задачи теплопереноса

Результаты прогноза температуры, достигаемой в стержне к моменту времени t = 2,5 с, полученные численно при решении тестовой задачи с помощью предложенной методики при шаге по пространству h = L/90 и шаге по времени т = 5*10в-4 с, приведены в таблице 1 вместе с расчетами температуры по формуле (3.7), выведенной аналитически.
Проверка адекватности решения краевой задачи теплопереноса

Расчеты показали, что максимальная относительная погрешность приближенного решения для заданных шагов по времени и пространству во всех узловых точках не превышает 0,005 %.
Для исследования порядка аппроксимации построенной схемы моделирования найдем решения для различных значений шагов:
Проверка адекватности решения краевой задачи теплопереноса

Результаты расчета с различными шагами по времени при h = L/90 на момент времени t = 1,25 с приведены в таблице 2.
Из таблицы 2 видно, что с уменьшением шага по времени т численное решение сходится к точному как О(т).
Результаты, полученные при выполнении расчета с различными шагами по пространству при т = 5*10в-4 с на момент времени t = 2,5 с, представлены в таблице 3.
Проверка адекватности решения краевой задачи теплопереноса

Данные таблицы 3 свидетельствуют, что с уменьшением шага по пространству h численное решение сходится к точному как О(h2).
Таким образом, из анализа результатов следует, что реализованная схема решения линейной нестационарной задачи теплопереноса имеет порядок O(h2) + О(т). Для получения результатов с точностью 0,005 % достаточно использовать шаг по времени т = 10в6 с и шаг по пространству h=L/90. Построенная схема и методика решения задачи теплопереноса дают оценки температуры среды в различные моменты времени с любой точностью, сходящиеся с уменьшением шага по пространству и по времени.